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Wie beweise ich folgende Aussage?

Sei V=ℚ(√2). Dann ist V ein ℚ-Vektorraum. Zeigen Sie, dass (1, √2) eine Basis von V ist.

Was zu zeigen ist, habe ich bereits auf anderen Plattformen erfahren, aber wie genau ich das nun beweisen soll, ist mir schleierhaft. Würde mich über einen kurzen Beweis freuen :)
Gefragt von
Ganz allgemein dazu:

Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge B ⊂ V heißt Basis eines K-Vektorraumes V , wenn:

1. B ist linear unabhängig.

2. B ist ein Erzeugendensystem von V.

Diese zwei Punkte muss man halt zeigen ..
sry fantom  aber die aufgabe ist falsch gestellt :D

wir sollen zeigen dass die abbildung f linear ist und dann die matrix angeben
Sollen wir nicht. Die Aufgabe ist von Blatt 5 oder 6! (Guck mal aufs Datum!)

1 Antwort

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Sei V=ℚ(√2). Dann ist V ein ℚ-Vektorraum. Zeigen Sie, dass (1, √2) eine Basis von V ist.

Nach Definition von Basis in http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum) gilt:

Jedes Element von  lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus  darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.

Nun ist gemäss Definition

V=ℚ(√2): = {x + y√2| x und y Elemente von i V=ℚ}

Die Darstellung als Linearkombination von 1 und √2 ist evident:

V=ℚ(√2): = {x*1 + y√2| x und y Elemente von i V=ℚ}

Nun könnte man annehmen, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist.

Also Annahme es gibt a und b in |Q , so dass 

a *1 + b √2 = x*1 + y√2 und (x,y) ≠ (a,b)     Dann gibts links und rechts einen Hauptnenner. Das KgV der beiden sei c.

Mult mit c ergibt überall ganzzahliche Faktoren

ac *1 + bc √2 = xc*1 + yc √2        |  - ac *1 - yc √2

ac *1 -xc *1 = - bc √2  + yc √2

(ac  -xc) *1 =( - bc + yc) √2             |:(-bc + yc)

(ac -xc) : (-bc + yc) = √2         Da ac, xc, bc und yc ganzzahlig sind, ist Wurzel aus 2 eine rationale Zahl. 

Das steht im Widerspruch zu bekannten Tatsachen über Wurzel aus 2.

Deshalb war die Annahme falsch und (a,b) ≠ (x,y). q.e.d.

nachtrag:

Denn Fall b=y muss man noch separat betrachten.

a *1 + b √2 = x*1 + b√2       |-b √2 

a*1 = x* 1 

Also a=x. Somit (a,b) = (x,y). Das ist gemäss Voraussetzung ausgeschlossen.

 

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