Beweis einer Summe n über k

Question

Bei dieser Aufgabe bin ich ein wenig am Verzweifen.
kann mir jemand einen Tipp geben wie ich anfangen soll und wie ich das Beweisen soll?

Comments

Tipp: Vollständige Induktion

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Hast du schon mal überlegt, dass der Fragesteller das mit seinem Tag eventuell gemeint haben könnte ?

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 Der entsprechende Tag wurde nachträglich geändert, er hieß vorher "Zahlen"

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dann nichts für ungut

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Falls "Induktion" tatsächlich gar nicht in der Tag-Liste stehen sollte, dann geht es so :

∑ [k=1 .. n]  k·5^k  =  f(5)   für  f(x) = ∑ [k=1 .. n]  k·x^k

f(x) = ∑ [k=1 .. n]  k·x^k  =  ∑ [k=0 .. n]  k·x^k

      = x·∑ [k=0 .. n]  k·x^k-1  =  x·∑ [k=0 .. n]  (x^k)'

      = x·(∑ [k=0 .. n]  x^k)'  =  x·((xⁿ⁺¹-1)/(x-1))'

      = x·((n+1)·xⁿ·(x-1) - (xⁿ⁺¹-1)) / (x-1)²

f(5) = 5·((n+1)·5ⁿ·4 - 5ⁿ⁺¹ + 1) / 4²

      = ( (n+1)·4·5ⁿ⁺¹ - 5·5ⁿ⁺¹ + 5 ) / 16

      = ( 5ⁿ⁺¹·(4n+4 - 5) ) / 16  + 5/16

Answer 1

Verfahren vollständige Induktion (da für alle n ∈ ℕ gelten soll ...)

IA für n = 1 erfüllt: [...]

IV: Für ein n ∈ N gilt: $$\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ k*{ 5 }^{ k } } =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n\quad -\quad 1 }{ 16 } *{ 5 }^{ n+1 }$$

IB: Es sei $$\quad \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*{ 5 }^{ k } } =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4(n+1)-1 }{ 16 } *\quad { 5 }^{ (n+1)+1 }$$

IS:

$$\quad \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*{ 5 }^{ k } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*{ 5 }^{ k } } +(n+1)*{ 5 }^{ n+1 }\\ \\ \overset { n.IV }{ = } \frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n-1 }{ 16 } *{ 5 }^{ n+1 }+(n+1)*{ 5 }^{ n+1 }\\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 4n-1 }{ 16 } +(n+1) \right) \\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 4n-1 }{ 16 } +\frac { 16(n+1) }{ 16 } \right) \\ \\ =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( \frac { 20n+15 }{ 16 } \right) \quad =\quad \frac { 5 }{ 16 } +{ 5 }^{ n+1 }\left( 5*\frac { 4n+3 }{ 16 } \right) =\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4n+3 }{ 16 } { 5 }^{ n+2 }=\frac { 5 }{ 16 } +\frac { 4(n+1)-1 }{ 16 } *\quad { 5 }^{ (n+1)+1 }$$

Comments

n ∈ ℕ

Aussage für n = 1 ist gültig

Aussage für n + 1 ist gültig unter der Vorausetzung dass die Aussage für n gilt

damit ist die Aussage für alle n ∈ ℕ gültig.