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Untersuchen Sie, ob die Folge (an) konvergiert und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:

1.) (an) = (n^2-n+1) / (2n^3+n+1)

2.) (an) = (n^2 -n+1) / (8n^2 -3)

3.) (an) = (n^3-17n+1) / (412n^2+13)

4.) Welche Regel kann man an diesen Beispielen erkennen?
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1.) Als erstes klammert man über und unter dem Bruchstrich die höchste Potenz von n, also n3 aus:

an = (n^2-n+1) / (2n^3+n+1) = n3*(1/n-1/n2+1/n3)/(n3*(2+1/n2+1/n3))

$$ a _ { n } = \frac { n ^ { 2 } - n + 1 } { 2 n ^ { 3 } + n + 1 } = \frac { n ^ { 3 } \cdot \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) } { n ^ { 3 } \cdot \left( 2 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) } = \frac { \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } { 2 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } $$

Das ist nun eine Verkettung konvergenter Ausdrücke, also konvergiert auch der gesamte Ausdruck und zwar gegen die Verkettung der Grenzwerte:
limn an = (0-0+0)/(2+0+0) = 0

2.) Hier geht man ganz genauso vor und erhält dann:
an = (1-1/n+1/n²)/(8-3/n²)
limn an = (1-0+0)/(8-0) = 1/8

3.) an = (1-17/n²+1/n³)/(412/n + 13/n³)
Hier geht der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen 0, die gesamte Folge geht also gegen Unendlich.

4.) Bei Folgen, die die Form einer ganzrationalen Funktion in n haben, gibt es folgende Regel:
Ist die höchste Potenz des Zählers größer, geht die Folge gegen Unendlich, ist die höchste Potenz des Nenners größer, geht sie gegen 0. Haben Zähler und Nenner den gleichen Grad, geht sie gegen den Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenz.

Beantwortet von 10 k
Hallo ich habe eine Frage.

 

Klammert man bei 1. x^2 aus dann erhält man 1/2n und diese Folge ist nicht konvergent.

edit: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Für x gegen unendlich geht die funktion zwar gegen 0 aber die Folge ist nicht konvergent oder hab ich die Aufgabe falsch verstanden?
Warum sollte das nicht konvergent sein?
Wenn der Ausdruck für n gegen unendlich immer näher gegen 0 geht, dann nennt man das Konvergenz gegen den Grenzwert 0.
Ich hab mir nochmal den von dir verlinkten Artikel durchgelesen:
Da geht es nicht um Folgen, sondern um Reihen, das ist ein wichtiger Unterschied!

Reihen sind Summen über Folgen, grob gesagt.
Danke du hast Recht. Mir war die Definition von Reihe und Folge nicht klar.

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