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1.)Sei (an) eine Nullfolge mit an>=0 für alle n € N. Zeigen Sie, dass auch (√(an))eine Nullfolge ist.

2.)Sei (an) eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, die gegen a konvergiert.

Zeigen Sie, dass a>=0 und dass die Folge (√(an)) gegen
√(a) konvergiert.
von

2 Antworten

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1. Sei an Nullfolge, das heißt:
∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |an|<ε

Da auf beiden Seiten positive Zahlen stehen, kann ich in der Gleichung die Wurzel ziehen und erhalte:
∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |√an|<√ε

Mit anderen Worten:

∀ε'>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |√an|<ε'

⇒√an ist eine Nullfolge.

 

2. Konvergie an gegen a, das heißt sei an-a Nullfolge:

∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |an-a|<ε

Da Ungleichungen in der Konvergenz bis auf Randpunkte erhalten bleiben folgt aus an>0 -> a≥0.

Die Gleichung aus der Definition lässt sich umformen zu:

|√an-√a|*|√an+√a|

also ist auch diese Folge eine Nullfolge.

Da die Wurzeln im rechten Faktor positive Zahlen sind, gibt es zwei Möglichkeiten:

1.: √a = 0 ⇒ a = 0 ⇒ Fall aus Aufgabe 1

2.: √a ≠ 0 ⇒ |√an+√a| > 0 für alle n. ⇒ √an-√a ist Nullfolge. ⇒ √an konvergiert gegen √a.

von 10 k
0 Daumen
Wir hatten diese Aufgaben gestern schon hier. Möglicherweise ist aber noch keine fertige Lösung für beide Aufgaben vorhanden.

https://www.mathelounge.de/4715/nullfolgen-und-folgen

Suche unter dem Stichwort Nullfolge:
https://www.mathelounge.de/tag/nullfolge
von 160 k 🚀
Was hilft eine Antwort, die nicht mehr auffindbar ist?
Nein ich wollte das auch als Kommentar für die Redaktion eingeben, konnte aber nicht einloggen.
Hat jemand eine Lösung ?? Ich komme mit der Aufgabe überhaupt nicht klar...
Ich hab beim Link (oben) meinen Ansatz für den ersten Teil reingestellt.
In dem anderen Fragethread wurde aber letztendlich nur der erste Teil bzw eine von zwei Aufgaben behandelt.. Oder überseh ich da was?
Ich bin nicht ständig online, aber Ich glaub, da hast du Recht.

Beim andern Link hat sich aber gezeigt, dass ihr wohl nicht die gleiche Formalisierung benutzt. Das hat irgendwie keinen Sinn. Braucht ihr das immer noch und habt ihr keine betreuten Übungsstunden?
@ Vekxx: Der Ansatz mit dem 3. Binom dort bezieht sich wohl auf (b) vom 1. Teil.

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