Geht es nicht viel kürzer:
1. Der kleinste Teiler einer Zahl x > 1 ist immer eine Primzahl; denn x hat ja
eine Primfaktorzerlegung und ist also durch alle Primfaktoren, die darin vorkommen
teilbar, also hat sie jedenfalls einen Teiler t , der größer als 1.
Wenn der größte davon keine Primzahl wäre, hätte der auch ein Primfaktorzerlegung
mit mehreren Primfaktoren, die alle kleiner als t sind, aber diese sind dann auch Teiler
von x ( p|t und t|x ==> p|x ) im Widerspruch zur Minimalität von t.
2. p(a) ∉ { p1, ... , pr }
angenommen es wäre p(a) ∈ { p1, ... , pr }.
Das hieße p(a) teilt ( 1 + Produkt der pi )
==> Es gibt x∈ℕ x*p(a) = 1 + Produkt der pi
==> x*p(a) - Produkt der pi = 1
Die linke Seite ist durch p(a) teilbar, aber die rechte nicht. Widerspruch!
b) Da würde ich vollst Induktion versuchen.
Für n=1 ist 2 < 4 sicher wahr.
Ist die Ungleichung wahr für alle k bis zu einem gewissen n, dann bilde
ähnlich wie in a) 1 + Produkt aller pi von 1 bis n.
Da wegen a) der kleinste Teiler dieses Produktes eine Primzahl p(a) ist, die
nicht in { p1, ... , pn } enthalten ist, gilt für dieses p(a)
pn+1 ≤ p(a) ≤ 1 + Produkt aller pi von 1 bis n. #
Für das Produkt aller pi von 1 bis n. 8nenne ich jetzt mal P )
gilt P < 2 hoch 21 * 2 hoch 22 * ..... * 2 hoch 2n
= 2 hoch ( 21 + 22 +..... +2n ) (geom. Reihe im Expo.)
= 2 hoch ( 2n+1 - 1)
< 2 hoch ( 2n+1 ) ##
also liefert # pn+1 ≤ p(a) ≤ 1 + Produkt aller pi von 1 bis n = 1+P
==> pn+1 ≤ 1+P
==> pn+1 < P und mit ## also
==> pn+1 < 2 hoch ( 2n+1 ) . Also Induktionsschritt gezeigt.
