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es ist folgende Abbildung gegeben, die Frage lautet, ob nun diese Abbildung ein Vektorraumhomomorphismus / lineare Abbildung ist? Die Nullen sind der Verwirrungsfaktor...

Bild Mathematik

Würde mich über eine Erklärung/ einen Beweis freuen! :)

von

Vom Duplikat:

Titel: Beipiel für eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen?

Stichworte: vektorraum,abbildung,lineare

dies soll ein Beipiel für eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen sein:


v1        v1

v2   =   v2

v3        v3

             0

             0

↓           ↓  

Vektor 1 & 2 [stellt euch um die Vektoren die Klammern vor... :) ]

Abbildung zwischen Vektorräumen

Könnte das jemand bitte näher erläutern? Warum ist das eine Abbildung, ist das formal korrekt notiert und was sollen die "Nullen" zum Ausdruck bringen?



Meinst du sowas wie \(f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^5,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y\\z\\0\\0\end{pmatrix}\)?

Ja, genau! Achso, so ist das gemeint, eine Abbildung des reellen 3-dimensionalen Vektorraums  auf den 5-dimensional reellen Vektorraum. Und was bildet auf die null ab? Eigentlich nichts, ist diese Abbildung aber dennoch eine lineare Abbildung, also ein Vektorraum-Homomorphismus?

Danke im Voraus und danke für den Denkanstoß! :)

1 Antwort

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Beste Antwort

Besorge dir die Definition "f heißt Vektorraumhomomorphismus von dem K-Vektorraum V in den K-Vektorraum W, wenn für alle a∈K und alle v1,v2∈V die Gleichungen f(av1) = af(v1) und f(v1+v2) = f(v1) + f(v2) gelten."

Überprüfe dann jede in der Definition genannten Bedingungen:

Seien a ∈ ℝ, x= (x1 x2 x3)T, y = (y1 y2 y3)T ∈ ℝ3. Dann ist

f(ax) = (ax1 ax2 ax3 0 0)T = a(x1 x2 x3 0 0)T = af(x).

f(x+y) = (x1+y1 x2+y2 x3+y3 0 0)T = (x1 x2 x3 0 0)T + (y1 y2 y3 0 0)T = f(x) + f(y).

Fertig.

> Die Nullen sind der Verwirrungsfaktor...

Das ist ja auch kein Wunder. Die Nullen sind halt recht eigenwilige Geschöpfe. Manchmal machen sie so wenig; praktisch überhaupt nichts (zum Beispiel bei der Addition) und manchmal verschlingen sie alles was ihnen über den Weg läuft (zum Beispiel bei der Multiplikation). Kann ich aber gut nachvollziehen; würde ich auch machen wenn keiner mit mir teilen wollte.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe es jetzt  verstanden! Dankeschön!!! :)

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