Verallgemeinerung einer Textaufgabe (Beweisen) 12 Stück Tuch für 140 Thaler

Question

Jemand kauft 12 Stück Tuch für 140 Thaler, davon sind zwei Tücher weiß, drei sind schwarz
und der Rest der Tücher ist blau. Nun kostet ein Stück schwarzes Tuch 2 Thaler mehr als ein weißes und ein Stück blaues Tuch kostet 3 Thaler mehr als ein schwarzes.
Die Frage ist, wie viel jedes kostet.

Lösung: x= weißes Tuch, x+2 = schwarzes Tuch, 5+x= blaues Tuch

140= 3*(2+x)+ 7*(5+x)+2*x

x=8,25 weißes Kostet, schwarzes 10,25, blaues 13,25

Nun lautet die darauffolgende Aufgabe :

1. Verallgemeinerung

   Ersetzen Sie in der obigen Textaufgabe 140 Thaler durch p Thaler ( p aus natürlichen Zahlen ).
   Beweisen oder widerlegen Sie:
   In Abhängigkeit von p gibt es genau eine Lösung der Aufgabe, wenn beliebige natürliche Zahlen als Maßzahlen der Preise für die Tücher zugelassen werden.

Bitte um Hilfe zur Lösung, bin bisher soweit gekommen bzw. vorgegangen :

Answer 1

Hallo Sascha,

Sei \(x\) der Preis für ein weißes Tuch, so hast Du völlig korrekt berechnet, dass

$$x = \frac{p-41}{12} \text{Thaler}$$

der Preis dafür ist, wenn man die anderen Bedingungen der Aufgabe so lässt, wie vorgegeben. Nun ist aber bereits für den Fall von \(p=140 \text{Thaler}\) der Preis \(x=8,25 \text{Thaler}\) keine natürliche Zahl. Folglich ist die Aussage

"In Abhängigkeit von p gibt es (in jedem Fall) genau eine Lösung der Aufgabe, wenn beliebige natürliche Zahlen als Maßzahlen der Preise für die Tücher zugelassen werden."

damit bereits widerlegt.

Gruß Werner

Comments

Ne bei der Verallgemeinerungsaufgabe ist p nicht mehr 140 und x auch nicht mehr 8,25. Sondern p und x  beide beliebig natürliche  Zahlen. Die Preise der Tücher sind ebenso aus den natürlichen Zahlen.

also bin ich grad auf die idee gekommen zu zeigen, dass p-41 als ergebnis ein vielfaches von 12 sein muss. so zb. P=101.

Weiß halt nur nicht ob die Begründung dann so ausreichend ist.

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Hallo Sascha,

Schaue bitte noch mal nach, ob der Aufgabetext hinter "Beweisen oder widerlegen Sie .." genau so heißt, wie Du angegeben hast.

Die Vorgabe ist \(p \in \mathbb{N}\) - heißt \(p\) ist eine (beliebige) natürliche Zahl. Also kann \(p\) auch 140 sein. Da gibt es keine Einschränkungen. Im  Fall von \(p=140\) ist \(x \not \in \mathbb{N}\) - damit ist die Aussage widerlegt.

Gruß Werner

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Der aufgabentext ist 1:1 kopiert :D

Ja ist richtig 140 ist eine natürliche zahl, aber so wie ich das verstehe müssen die Preise für die tücher auch aus den natürlichen zahlen sein. somit würde ja 140 als p wegfallen, da mein x 8,25 wäre.

also zb x= 3 dann wäre p=77  dann kann eventuell sagen 77-41= 36 (vielfaches von 12)

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Du schriebst: "Ja ist richtig 140 ist eine natürliche zahl, aber so wie ich das verstehe müssen die Preise für die tücher auch aus den natürlichen zahlen sein. somit würde ja 140 als p wegfallen, da mein x 8,25 wäre. "

Genau - das müsste gelten, wenn die Aussage aus der Aufgabenstellung korrekt wäre. Aber mit dem Beispiel \(p=140\) sieht man, dass dies nicht der Fall ist. Also ist die Aussage damit widerlegt.