Integralrechnung: Integration von m(t)=2t*e^{-1/36*t²} mit Substitution

Question

Also wie gesagt, wär echt cool wenn jemand weiß wie's geht.

Mir geht's auch nicht um die Lösung sondern um den Weg, damit ich's verstehe ...

"Nach einer Operation erhält ein Patient im Krankenhaus eine Infusion. Das Medikament wird mittels einer Infusionsflasche verabreicht. Die Menge der Infusion (Milligram pro Stunde) kann variiert werden. Der Verlauf der verabreichten Dosierung wird nahezu dargestellt durch die Funktion: m(t) = 2t*e^(-1/36)t²

Aufgabe: Berechne die Gesamtmenge des Medikaments in Milligramm, die dem Patienten in den ersten 12 Stunden nach der Operation zugeführt wird"

Nun hab ich, um ehrlich zu sein, keine Ahnung wie ich das genau anstellen soll.

Mein erster Gedanke war halt ein Integral bilden und dazu die Stammfunktion. Nur hab ich, glaub ich, das mit dem Substituieren nicht ganz geschnallt ...

Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte! Also Lösungsweg wie ich das angehe ... :)

Answer 1

Ich mache dir nur mal die Integration durch Susbtitution:

∫ 2·t·e^{-1/36·t^2} dt

Substitution

z = -1/36·t^2
dz/dt = - t/18
dt = -18/t dz
∫ 2·t·e^{z} * -18/t dz
∫ -36·e^{z} dz
- 36·e^z

Resubstitution

- 36·e^{-1/36·t^2}

Kommst du jetzt alleine klar?

Comments

Hallo vielen Dank,

zwar versteh ich wie du substituiert hast, allerdings muss ich wohl zu meiner Schande sagen, dass ich anscheinend keine Ahnung mehr habe wieso und wie genau das eig. funktioniert..

die 12te. Klasse ist leider schon etwas her.. :c

dz/dt= -t/18 weil es immer die Ableitung von z ist?

dt = logisch..

desweiteren sind die Grenzen vom Integral 12 und 0 oder verwechsel ich etwas?

Ich bitte um entschuldigung für meine Unwissenheit aber irgendwie hab ich momentan ein Brett vorm Kopf.. :)

---

Integration durch substitution ist ja eigentlich die Umkehrung der Kettenregel. Und dort wird noch die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert. Daher müssen wir hier eigentlich durch die innere Ableitung teilen.

z = ...

ist eigentlich die innere Funktion und
dz/dt = ...

ist die innere Ableitung.

Und die Grenzen des Integrals sind 0 und 12. Es ist günstiger meist die untere Grenze zuerst zu sagen.

---

Danke für die Hilfe, ich hab es jetzt eig.  verstanden nur noch eine Frage, da die Grenzen ja 0 und 12 sind, kommt denn am Ende 35,34 raus?

Ich hab da nämlich so ein Problem, dass wenn ich die Funktion z.B. in GeoGebra veranschauliche nach 12 Stunden nicht 35 sondern 45 Milligramm im Graphen angezeigt werden.

Jetzt bin ich mir nicht ganz Sicher ob meine Lösung falsch oder Richtig ist. :)

---

Achtung:

Nicht F(12) ist wichtig sondern F(12) - F(0)

und das sind ca. 35