Basis einer Polynomfunktion

Question

Die Menge aller Polynomfunktionen bildet einen Vektorraum.

Um zu zeigen, dass

g(x) = 1 - 4x

f(x)  = 3 + 8x

k(x) = x + 3x²

eine Basis von V ist, muss ich zeigen dass diese drei Funktionen ein erzeugendensystem bilden für Grad ≤ 2.

Kann mir jemand kurz zeigen, wie ich das anstelle?

Answer 1

Ansatz: a·g(x)+b·f(x)+c·k(x)= AX²+Bx+C. Einsetzen, Zusammenfassen, Koeffizientenvergleich.

Comments

Wie geht denn ein koeffizientenvergleich

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Man vergleicht die Koeffizienten von x², x und des x-freien Gliedes.

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a·(1-4x)+b·(3+8x)+c·(x+3x²)= AX²+Bx+C.

und weiter?

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und weiter?

Wenn 1 - 4x,  3 + 8x, x + 3x²   ein Erzeugendensystem der Menge aller Polynome vom Grad <=2 sein soll, muss ein beliebiges AX²+Bx+C (aus der Menge aller Polynome vom Grad <=2) als Linearkombination der Vektoren 1 - 4x,  3 + 8x, x + 3x^2  darstellbar sein. Der Ansatz dafür ist a(1-4x) + b(3+8x) + c(x+3x²) = AX²+Bx+C
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt a + 3b + (-4a + 8b + c)x + 3cx^2 = Ax^{^2}+Bx+C. Prüfe, ob das zugehörige LGS eine Lösung hat.

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Es würde genügen, zu untersuchen, welche Koeffizienten die Gleichung

a·g(x)+b·f(x)+c·k(x)=0

lösen...

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wie sieht denn das GSL aus.

Das verstehe ich ja nicht. Wenn ich weiß wie ich es aufstelle, bekomme ich alles weitere hin, nur daran scheitert es. Tut mir leid, dass es so unverständlich von mir erklärt war :(

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wie sieht denn das GSL aus.

Steht doch schon fast da oben :-) Das LGS, das ich meine ist

a + 3b = A
-4a + 8b + c = B
3c = C

Die einfachere und daher mMn bessere und elegantere Variante von Gast az0815 ist das zugehörige homogene LGS.