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Hi, ich habe folgende Aufgabe und weiß leider keine Lösungsansätze oder Methoden, um diese zu lösen...wir sind schon am verzweifeln...

Bild Mathematik

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vielleicht hilft diese angefange Lösung(einer anderen Aufgabe) auf die Antwort meiner Frage:Bild Mathematik

Ja, das wäre gut :)


Sicher ist sicher..

Vielen lieben Dank für deine Hilfe und deine Zeit

Brauchst Du jetzt nochmal extra Hilfe für diese Aufgabe oder reicht das eine Beispiel?

Extra Hilfe.


Da wir eine ähnliche Aufgabe( siehe oben) mit Indexverschiebung gelöst haben und dann aus Zeitgründen nicht weiter gekommen sind, bin ich mir nicht sicher wie ich das genau lösen sollte.

Ich brauche eine vollständige Lösung, um es später für die Klausur nachvollziehen zu können, wenn ich später nochmal drauf schaue und das habe ich bisher leider nicht geschafft.


Nochmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

1 Antwort

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Beste Antwort

Hi,
bei einer Dgl. der Form $$ (1) \quad y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0  $$ macht man folgenden Lösungsansatz
$$ (2) \quad y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^{k+\rho} $$ (2) ableiten und in (1) einsetzten führt auf
$$ (3) \quad (k+\rho)(k+\rho-1)+(k+\rho) p(x) + q(x) = 0 \text{ für alle } x \text{ und } k $$
Also folgt für \( k = 0 \) und \( x = 0 \) das gelten muss
$$ (4) \quad \rho(\rho-1)+\rho \cdot p(0) + q(0) = 0 $$

Nun zu Deiner Dgl. die kann man auch so schreiben
$$ x^2 y'' - x y' + \left( \frac{3}{4}-x^2 \right) y = 0 $$ und damit die Form (1) annimmt, mit \( p(x) = -1 \) und \( q(x) = \left( \frac{3}{4}-x^2 \right) \) also \( p(0) = -1 \) und \( q(0) = \frac{3}{4} \)
Lösen von (3) ergibt $$ (5) \quad \rho = \begin{cases}   1/2\\ 3/2 \end{cases} $$

\(  \mathbf{Fall \ 1: \ } \rho = \frac{1}{2} \)
Einsetzten  von (2) in (1) mit \( \rho = \frac{1}{2} \) führt auf
$$ (6) \quad \sum_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k+\frac{1}{2}} - \sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^{k+\frac{1}{2}} = 0  $$
Hierbei sind \( a_0 \) und \( a_1 \) beliebig wählbar.

D.h. man bekommt die Rekursionsvorschrift
$$ (7) \quad a_k = \frac{a_{k-2}}{k(k-1)} $$
(7) iterativ ausgeführt ergibt
$$ (8) \quad a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!} $$ und $$ (9) \quad a_{2k+1} = \frac{a_1}{(2k+1)!} $$ damit wird (2) zu
$$ y = x^{\frac{1}{2}} \left( a_0 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} + a_1 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) = \sqrt{x} \left( a_0 \cosh(x) + a_1 \sinh(x) \right) $$

Der zweite Fall geht genauso und man bekommt $$ y = \sqrt{x} a_0 \sinh(x) $$

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Jetzt habe ich es endlich verstanden. Aber heute haben wir herausgefunden, dass dieses Thema erst im Januar in der Klausur vorkommt und nicht wie geplant in 2 Wochen.

Naja, ich danke dir trotzdem für deine super ausführliche und verständliche Hilfe und Lösung!

Hoffentlich hast Du es bis dahin nicht vergessen, immerhin liegen Weihnachten und Silvester dazwischen.

Ja, das hoffe ich auch ^^

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