Bestimmen Sie über einen Potenzreihenansatz der Form

Question

Die Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}\) sei rekursiv definiert durch \(a_0 = 0\), \(a_1 = 1\) und
\( a_n = 2a_{n-1} + 8a_{n-2} \quad \text{für } n \geq 2. \)
Bestimmen Sie über einen Potenzreihenansatz der Form
\( P(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)
eine explizite Formel für \(a_n\).

Comments

Tschakabumbas Antwort ist nicht viel mehr hinzuzufügen.

Um einen tieferen sehr interessanten Einblick in deinen "Potenzreihenansatz" zu bekommen (auch "Generierendenfunktion" genannt), hier ein tolles Buch, das es online als pdf gibt, zumindest die zweite von drei Editionen, direkt von der Website des Authors: "generatingfunctionology" von H. Wilf. Ein wahnsinniges Buch!

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Schritt zerlegen wir das Polynom, um die \(a_n\) einsetzen zu können:$$P(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+\sum\limits_{n=2}^\infty a_n\cdot x^n$$Da die Summe nun bei \(n=2\) beginnt, dürfen wir unter der Summe auch die Rekursionsformel einsetzen. Mit \(a_0=0\) und \(a_1=1\) erhalten wir dann:$$P(x)=x+\sum\limits_{n=2}^\infty(2a_{n-1}+8a_{n-2})\cdot x^n=x+2\sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-1}\cdot x^n+8\sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-2}\cdot x^n$$$$\phantom{P(x)}=x+2\sum\limits_{n=2\pink{-1}}^\infty a_{(n\pink{+1})-1}\cdot x^{n\pink{+1}}+8\sum\limits_{n=2\pink{-2}}^\infty a_{(n\pink{+2})-2}\cdot x^{n\pink{+2}}$$$$\phantom{P(x)}=x+2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot x^{n+1}+8\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot x^{n+2}$$Wegen \(a_0=0\) können wir die erste Summe statt bei \(n=0\) starten lassen:$$P(x)=x+2\sum\limits_{n=\pink0}^\infty a_nx^n\cdot x+8\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\cdot x^2=x+2x\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n+8x^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$$Die verbliebenen Summen können wir alle durch \(P(x)\) ersetzen:$$P(x)=x+2x\cdot P(x)+8x^2\cdot P(x)\implies$$$$P(x)-2x\cdot P(x)-8x^2\cdot P(x)=x\implies$$$$P(x)\cdot(1-2x-8x^2)=x\implies$$$$P(x)=\frac{x}{1-2x-8x^2}$$

Den Nenner können wir faktorisieren und daher \(P(x)\) in Partialbrüche zerlegen:$$P(x)=\frac{x}{1+2x-4x-8x^2}=\frac{x}{(1+2x)-4x(1+2x)}=\frac{x}{(1-4x)(1+2x)}$$$$\phantom{P(x)}=\frac{6x}{6(1-4x)(1+2x)}=\frac{(1+2x)-(1-4x)}{6(1-4x)(1+2x)}=\frac{1}{6(1-4x)}-\frac{1}{6(1+2x)}$$

Die beiden verbliebenen Brüche erinnern stark an die Summe einer geometrsichen Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$Für den erseten Bruch ist \(q=4x\), für den zweiten ist \(q=-2x\):$$P(x)=\frac16\sum\limits_{n=0}^\infty(4x)^n-\frac16\sum\limits_{n=0}^\infty(-2x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{4^n}{6}\cdot x^n-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{6}\cdot x^n$$$$\phantom{P(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{4^n}{6}-\frac{(-2)^n}{6}\right)\cdot x^n$$

Wir lesen daraus die explizite Formel für \(a_n\) ab:$$a_n=\frac{4^n}{6}-\frac{(-2)^n}{6}$$

Comments

Vielleicht sollte man hier noch den wichtigen Punkt anmerken: Wir haben hier zwei (verschiedene?) Potenzreihen für die gleiche Funktion gefunden.

Dass wir folgern, dass die Koeffizientenfolgen gleich sind, also wir eine Darstellung für deine rekursive Folge gefunden haben, ist die Eindeutigkeit der Taylorreihe für analytische Funktionen!

---

Danke dir für die Ergänzung ;)

Ich habe implizit vorausgesetzt, dass das in der Vorlesung behandelt wurde, weil in der Aufgabenstellung konkret der Potenzreihenansatz gefordert war. Aber ich hätte es natürlich nochmal explzit sagen können.

---

Hmmh. In dem von Joners zitierten Buch wird doch gerade hervorgehoben, dass die Methode der ErzeugendenFunktion bei Rekursionen eine im Kern algebraische Methode ist und Konvergenzfragen zunächst keine Rolle spielen - bis auf spezielle Fragestellungen??

---

Bei der Methode ist es etwas unklar, wie sie am besten angewandt wird, und in vielen etwas komplizierteren Fällen (also wo die analytische Seite etwas komplizierter ist) nutzt du am besten generatingfunctionology zum Finden der Formel, und dann z.B. Induktion für einen Beweis.

Wenn du über die Generierendenfunktion eine explizite Taylorreihe für deine Funktion findest und das auch in diesem Rahmen beweisen möchtest, dann musst du meistens noch irgendwie sagen, warum das jetzt tatsächlich deine Koeffizienten sind. Du könntest bei einfachen Rekursionsformeln ja auch "rein algebraisch" sagen: "Es gibt nur eine Folge, die die gegebene Rekursionsgleichung erfüllt, die Koeffizienten meiner Taylorreihe erfüllen diese, also sind meine beiden Koeffizientenfolgen gleich". Oder eben analytisch den Identitätssatz für Taylorreihen oder oder oder. Es gibt da verschiedene Wege, wie man das argumentieren kann, ich sage gerne am Ende einfach "hier ist die Taylorreihe meiner Funktion, die ist eindeutig, damit sind wir fertig".

Ich verstehe, was das Buch damit sagen möchte, aber die Analysis komplett außen vor lassen geht meiner Meinung nach nicht. Man benutzt in der Rechnung ja auch den Fakt: \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}\), ohne Analysis - also rein algebraisch - macht diese Aussage keinen Sinn, es ist eben ein Grenzwert. Irgendwo musst du \(\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_kx^k\right)\implies (a_k=b_k,\forall k\geq 0)\) als Aussage ja herkriegen.

---

Der "Sinn" dieser Aussage ist, dass 1-x und die formale geometrische Reihe Inverse zueinandr im Ring der formalen Potenzreihen sind

$$(1-x)(\sum_{k=0}^{\infty}x^k)=1$$