z komplexe Zahl mit z2 + z + 1 = 0. z4 + 1/z4 berechnen.

Question

:)

Zu folgender Aufgabe hätte ich eine Frage:

Ich weiß nun, dass die komplexe Zahl  so beschrieben wird: z= a+bi. Allerdings komme ich echt nicht mehr weiter, v.a. weil wir so eine Aufgabe nicht durchgenommen haben. Wäre über eine Hilfestellung/ Lösungsvorschlag sehr dankbar!

Comments

z² + z + 1 = 0

Kannst du ganz normal mit der abc- oder pq-Formel lösen. 

Dann einfach (wenn nötig) das i verwenden. 

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Tut mir unglaublich Leid, wenn ich mich sehr doof anstelle :/

Ich hab nun raus z1 = -0.5 + i*sqrt(3)/2    und z2 = -0.5 - i*sqrt(3)/2

Was meinst du nun mit " i anwenden "?

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i verwenden. Das hast du getan und dein Resultat passt zu dem von jc2144

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Vielen Dank für deine Hilfe! :)

Answer 1

löse durch quadratische Ergänzung:

z²+z+1=0

(z+1/2)²+1-1/4=0

(z+1/2)²=-3/4

z+1/2 = ±√(3/4)*i

z1=-1/2+√(3/4)*i

z2=-1/2 -√(3/4)*i

Bekommst du es damit hin den Rest auszurechnen?

Es lohnt sich dafür die Lösungen in Exponentialform zu bringen.

Comments

:)

Genau auf dieselbe Lösung bin ich auch gekommen (siehe oberen Kommentar).

Allerdings verstehe ich leider noch nicht ganz was ich jetzt mit der Formel z⁴ + 1/ z⁴ machen soll :x

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aaah soll man jetzt z einfach einsetzen?

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Ja einfach mal die Lösungen einsetzen ;) 

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Perfeeekt! Vielen lieben Dank :D

Answer 2

$z^2+1=-z$. Es ist klar, dass $z\ne0$ ist. Division durch $z$ liefert $z+\frac1z=-1$. Quadrieren liefert $z^2+\frac1{z^2}=-1$. Erneutes Quadrieren liefert $z^4+\frac1{z^4}=-1$.