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Bestimmen Sie die komplexe Zahl


(3+i1i \frac{√3 + i}{1-i} )^20 + (3+i1+i \frac{√3 + i}{1+i} )^20


Kann mir jemand erklären wie man hier vorgeht? Das Ergebnis kenne ich, ich bräuchte aber eine Erklärung damit ich das auch auf ähnliche Aufgaben anwenden kann :)

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3+i \sqrt{3}+i hat das Argument 30° und den Betrag 2.

1-i hat das Argument -45° und den Betrag 2 \sqrt{2}.

Der erste Quotient hat somit das Argument 30°-(-45°)=75° und den Betrag 22=2 \frac{2}{√2} =√2

Die 20. Potenz davon hat das Argument 20*75°=1500°=4*360°+60° (entspricht 60°) und den

Betrag 220=1024 \sqrt{2}^{20}=1024.

Der erste Summand ist somit 1024*(cos 60°+i*sin(60°).

Der zweite Quotient hat das Argument 30°-45°=-15° und das Argument 22=2 \frac{2}{√2} =√2
Die 20. Potenz davon hat das Argument 20*(-15°)=-300° (entspricht ebenfalls 60°) und ebenfalls den
Betrag 220=1024 \sqrt{2}^{20}=1024.

Die Gesamtsumme ist somit das Doppelte von 1024*(cos 60°+i*sin(60°)..

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