ich fasse's nochmal zusammen;
Für eine positive Primzahl
p∈P⊂Z ist die Summe p aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch p teilbar.
Beweis.
Induktionsanfang:
p∣∑i=1pi=(p u¨ber 2) ("p teilt ..."), denn es gilt
(p u¨ber 2)=2!(p−2)!p!=p⋅2!(p−2)!(p−1)!, wobei
2!(p−2)!(p−1)! ganzzahlig ist, da weder Zähler noch Nenner den Faktor p enthalten.
Induktionsschritt: Sei
x=∑i=nn+p−1i durch p teilbar gemäß
x=ap für ein
a∈Z. Dann ist
∑i=n+1n+1+p−1i=p+∑i=nn+p−1i=p+ap=p(1+a) ebenso durch p teilbar.
q.e.d.
MfG
Mister