Extrem-/Wendestellen trigonometrische Funktionen

Question

Bestimmen sie die Extrem/Wendestellen der folgenden trigonometrischen Funktion:

f(x) = sin ( πx ) + cos ( 2πx ) + 1

Die Nullstellen der ersten Ableitung habe ich berechnet bin mir aber nicht sicher, ob diese richtig sind. Ich habe 3 Ergebnisse herausbekommen.

f ' (x) = - π ( 2sin ( 2πx ) - cos ( πx ))

f '' (x) = - π² ( 4cos ( 2πx ) + sind ( πx ))

sind die "Ableitungen".

Vielen Dank

Answer 1

Hallo Jackson,

machen wir uns zunächst eine Skizze des Graphen der Funktion

~plot~ sin(pi*x) +cos(2*pi*x) + 1;{0,08043|2.125};{0.9196|2.125};{0.5|1};{1.5|-1} ~plot~

Deine Ableitungen sind richtig. Die Extremstellen bekommst Du mit der Bedingung \(f'(x)=0\) und \(f''(x) \ne 0\)

$$f'(x) = - \pi (2 \sin(2 \pi x) - \cos(\pi x) ) = 0$$

nach den Additionstheoremen ist \(\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x\). Das setzte ich hier ein:

$$4 \sin (\pi x) \cdot \cos (\pi x) - \cos(\pi x) = 0$$

$$ \cos(\pi x) \left(   4 \sin (\pi x) - 1 \right) = 0$$

Diese Gleichung ist erfüllt für

$$\cos(\pi x)=0 \quad \Rightarrow x_1=\frac12 + 2k; \quad x_2= \frac32 + 2k$$

und \(4 \sin (\pi x) - 1  = 0\) - also

$$\sin(\pi x) = \frac14 \quad \Rightarrow x_3 \approx 0,08043 + 2k; \quad x_4 \approx 0,9196 + 2k$$

Bei allen vier Werten ist \(f''(x) \ne 0\). Für die Wendestellen muss sein

$$f''(x)= -\pi^2 (4 \cos(2\pi x) + \sin(\pi x)) = 0$$

Aus den Additionstheoremen kommt: \(\cos( 2x) = 1- 2 \sin^2(x)\). Einsetzen gibt

$$4 - 8 \sin^2(\pi x) + \sin(\pi x) = 0$$

Ist eine quadratische Gleichung mit den beiden Lösungen

$$\sin(\pi x)_{1,2}= \frac{1}{16} \left( 1 \pm \sqrt{129}\right)$$

... was dann zu insgesamt vier Lösungen im Bereich einer Periode von \(x \in [0..2)\) führt. Kommst Du zurecht?

Gruß Werner

Comments

Meine nullstellen waren doch richtig.

Vielen Dank

Edit:

Müsste x2 nicht -1/2 +2k sein?

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\(x_2 = -\frac12 + 2k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) ist das gleiche wie \(x_2 = \frac32 + 2k\).

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Stimmt. Trotzdem komme ich nicht auf die -1 wenn ich z.B. x1 in die Ausgangsfunktion einsetze? Was genau wird da berechnet?

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Du schreibst: "Trotzdem komme ich nicht auf die -1 wenn ich z.B. x1 in die Ausgangsfunktion einsetze? Was genau wird da berechnet?"

$$f(x_1 = \frac12) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \pi + 1 = 1 -1 +1 = 1$$

$$f(x_2 = \frac32) = \sin \frac32 \pi + \cos 3\pi + 1 = -1 -1 + 1= -1$$

siehe auch der Graph oben.

Gruß Werner

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Jetzt macht es Sinn. Ich habe jedesmal die 2k auch eingesetzt, aber die gehören zur Periode und genau das war mein Fehler. Naja,

vielen Dank nochmal.

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Du kannst die \(2k\) ruhig mit einsetzten. Es ändert aber nichts am Ergebnis - es darf nichts ändern, sonst hat man vorher was falsch gemacht. Beispiel:

$$\begin{aligned} \sin\left( \left(\frac12 + 2k\right) \pi\right) &= \sin \left(\frac12 \pi +2k\pi \right)  \\&= \sin \left(\frac12 \pi \right) \cdot \cos \left( 2k\pi \right) +  \cos \left( \frac12 \pi \right) \cdot \sin \left( 2k\pi \right) \\ &= \sin \left(\frac12 \pi \right) \cdot 1 +  \cos \left( \frac12 \pi \right) \cdot 0 \\& = \sin \left(\frac12 \pi \right) \end{aligned}$$

Für den Cosinus geht das genauso und wenn Du Dir das ganze noch graphisch im Einheitskreis vorstellst, so ändern sich die Werte von Sinus und Cosinus nicht wenn Du noch eine ganze Umdrehung hinzu fügst.

Gruß Werner