Lagrange - Nutzenfunktion

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x₁ , x₂ )=50·ln( x₁ )+40·ln( x₂ ). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p₁ =1 und p₂ =2 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=160. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.

a. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x1 =66.67. b. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x2 =35.56. c. Das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 ) bei gegebener Budgetrestriktion liegt bei 352.84. d. Erhöht man das Einkommen I um 75 GE, so beträgt die optimale Menge für x1 124.44 Einheiten.

e. Das optimale Faktoreinsatzverhältnis von x1 zu x2 vor der Einkommenserhöhung beträgt 2.50.


ich habe alles falsch oder die Lösungen sind alle falsch :(

Comments

Es würde einem Antwortgeber die Kontrolle seiner Rechnungen wesentlich erleichtern, wenn du die - offensichtlich bekannten - Lösungen angeben würdest.

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Entschuldigung, Wolfgang, ich habe wirklich schlecht formatiert.

a. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x1 =66.67.

b. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x2 =35.56. 

c. Das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 ) bei gegebener Budgetrestriktion liegt bei 352.84.

d. Erhöht man das Einkommen I um 75 GE, so beträgt die optimale Menge für x1 124.44 Einheiten.

e. Das optimale Faktoreinsatzverhältnis von x1 zu x2 vor der Einkommenserhöhung beträgt 2.50.

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Du musst dich nicht entschuldigen. Offensichtlich stehen auch in deiner Frage bereits Antwortvorschläge, bei denen  du die richtigen ankreuzen sollst.

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Ja, aber ich habe ja alle falsch und keine Lösung stimmt leider mit den Vorschlägen überein.

Answer 1

Hallo Jasmin,

mit  x1 , x2  , λ  =  x, y, a : 

Deine partiellen Ableitungen L_x und  L_y  sind falsch:

L(  x, y, a )  =  50·LN(x) + 40·LN(y) - a·(x + 2·y - 160)

L_x(  x, y, a ) = 50/x - a          ( hier fällt z.B. der konstante Summand  40 ln(y) weg )  

L_y(  x, y, a ) = 40/y - 2a

L_a(  x, y, a ) = -x - 2·(y - 80)

50/x - a = 0   ∧    40/y - 2·a = 0   ∧    -x - 2·(y - 80) = 0

Aus G1 und G2 kannst du x und y durch a ausdrücken, beides in G3 einsetzen, a ausrechnen und dann x und y.

Das ergibt

x = 800/9 ∧ y = 320/9 ∧ a = 9/16   ; ( x ≈ 88.89  ∧  y ≈ 35.56  ∧  a = 0.5625 )

Kommst du jetzt weiter?

Gruß Wolfgang

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Danke Wolfang für deine Hilfe, jetzt komme ich sicher weiter bzw. ich versuchs