Beweisen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden roten Möndchen ist.

Question

Über den Seiten AB, AC und BC eines rechtwinkligen Dreiecks ABC seien die Halbkreise gezeichnet (siehe
Bild). Beweisen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden roten Möndchen ist.

Answer 1

steht dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates#Beweis

Answer 2

> Flächeninhalt des Dreiecks ABC

Der ist ½ab.

> Summe der Flächeninhalte der beiden roten Möndchen

Halbkreise über den Katheten: ½·π·(a/2)² + ½·π·(b/2)².

Halbkreis über der Hypotenuse: ½·π·(c/2)².

Halbkreis über Hypotenuse abzüglich Dreieck: ½·π·(c/2)² - ½ab.

Möndchen: 

(1)        ½·π·(a/2)² + ½·π·(b/2)² - (½·π·(c/2)² - ½ab).

Pythagoras:

        a² + b² = c²

In (1) einsetzen und umformen.