Logarithmus naturalis ausrechnen ohne taschenrechner

Question

wie kann man den logarithmus naturalis ohne taschenrechner ausrechnen z.B. ln von 2 

Danke

Answer 1

Wenn kein TR zur Hand ist, dann empfehle ich einen Rechenschieber oder eine Logarithmentabelle.

Für Näherungen kann man Taylorentwicklung verwenden oder vereinfachte "praktische Formeln", die vor wenigen Jahrzehnten (vor Erfindung des TI 30) noch in den Gymnasien den Primanern eingeprügelt wurden.

Bei heutiger Fragestellung gehe ich mal davon aus, dass man wissen sollte, dass der ln |e|=1 und der ln |1/e|=-1 beträgt.

Answer 2

Taschenrechner verwenden nur Näherungsformeln!

Wichtigste Randbedingung hast Du vergessen: Anzahl der benötigten Nachkommastellen, da es unendlich viele gibt!

Es gibt nun mehrere Algorithmen für ln(x):

a) Reihenentwicklung (unendliche Summe) für x nahe 2.

ln(x)=1 + (x - e)/e - (x - e)^2/(2 e^2) + (x - e)^3/(3 e^3) - (x - e)^4/(4 e^4) +...

ln(x)=1+sum ((-1)^{1 + n} e^{-n} (2-e)^n)/n ,n=1...∞

Für 4 richtige Nachkommastellen benötigt man mindestens 6 Summanden (min der 1 sind es 7) und e mit Genauigkeit von mindestens 2.718281828459...

ln(2)=1 + (2 - e)/e - (2 - e)^2/(2 e^2)+...- (2 - e)^6/(6* e^6)

=0.69316...

Da ich schlecht mit Papier & Bleistift bin, habe ich die einzelnen Summanden per Iterationsrecher in Spalte aB und die Summe bis dahin in Spalte aC abgelegt:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@P-1,x+1)*@P2-E,x)/x/exp(x);@N@C0]=1;@B0]=0;@N@Bi+1]=Fx(i+1);@Ci+1]=@Ci]+@Bi+1];@Ni%3E9@N0@N1@Na=log(2);b=E;

Dann gibt es noch:

b) fertige Tafeln (oft nur 3 richtige Stellen!)

https://images.booklooker.de/x/00WZgH/F-G-Gauss+F%C3%BCnfstellige-vollst%C3%A4ndige-Logarithmische-und-Trigonometrische-Tafeln-Zum-Gebrauche-f%C3%BCr.jpg

c) Rechenschieber:

http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/museum/rechenschieber/tasche/26.jpg

d) Iterationen 

... reicht für heute

Comments

"Taschenrechner verwenden nur Näherungsformeln!"

Das liegt in der Natur der Sache, aber spielt mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit keine Rolle, wenn jemand wissen möchte, wie man die Werte ohne Taschenrechner ermitteln kann.

Dein Vorschlag, anstelle des Tascherechners einen Computer zu verwenden, weil schriftliches Rechnen zu mühselig ist, halte ich für bahnbrechend.

(wobei ich dabei an einen Fahrgast im Zug denke, der sich gerade übergibt)

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Auch wenn einige hier Ihre Abneigung mit Kraftausdrücken kommentieren müssen, sollte doch jeder gebildete Mensch verstehen, dass es völlig egal ist, ob die einfachen Grundrechenarten per Computer oder mit Bleistift & Papier entstanden sind. Hier noch Pfeile angemalt, so wie sie auf dem Papier hätten gemalt werden können:

Außerdem sollte diese Methode zeigen, wie man selbst mit Papier & Bleistift genauer als Tafeln & Rechenschieber werden kann. Da billig Taschenrechner oft nur 6 Stellen genau sind, kann man mit genug Zeit selbst diese noch übertrumpfen.