Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus alle Werte k ∈ R, sodass das gegebene Gleichungssystem inden Variablen x, y, z y ∈ R:x −3z = −32x +k y −z = −2x +2y +kz = 1(i) eine eindeutige Lösung besitzt,(ii) keine Lösung besitzt,(iii) mehr als eine Lösung besitzt
x + 2·y + k·z = 12·x + k·y - z = -2
2*II - k*I
x·(4 - k) - z·(k^2 + 2) = -k - 4x - 3·z = -3
(4 - k)*II - I
z·(k^2 + 3·k - 10) = 4·k - 8z·(k - 2)·(k + 5) = 4·(k - 2)
Für k = 2 unendlich viele LösungenFür k = -5 keine LösungFür alle anderen k genau eine Lösung.
kannst du bitte mir erläutern warum
Für k = 2 unendlich viele Lösungen Für k = -5 keine Lösung Für alle anderen k genau eine Lösung. ??
Hi
Wir formen die letzte Zeile um und erhaltenk^2 + 3k - 10 = 4k - 8(k+5)(k-2) = 4(k-2)Für k = 2 bekommen wir in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix eine Nullzeile, d.h. für k=2 gilt 0*z = 0. Diese Gleichung ist für alle z erfüllt, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen.Für k = -5 folgt aus der letzten Zeile 0*z = -28. Es gibt kein z, dass diese Gleichung erfüllt, d.h. das LGS ist nicht lösbar. In den übrigen Fällen gibt es eine eindeutige Lösung, denn dann ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen.Vgl. https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesbarkeitskriterien-fuer-inhomogene-lineareGrüße
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