Beweis für sin/cos=1

Question

 

mich hat interessiert ob in einem gleischenkligen Dreieck der Flächeninhalt am größten ist bei Alpha 90°. Nach ein wenig Recherche bin ich auf diese Rechnung gekommen:

1) A=g*h/2

2) sin (alpha/2)=g/(2a)

g=2a*sin (alpha/2)

3) cos (alpha/2)=h/a

h=cos (alpha/2)*a

In 1)

A=2a*sin(alpha/2)*a*cos (alpha/2)/2

  =a2*sin (alpha/2)*cos (alpha/2)

4) A'=a2*(1/2*cos2 (alpha/2)-1/2*sin2 (alpha/2))=0

sin (alpha/2)=cos (alpha/2)

sin (alpha/2)/cos (alpha/2)=1

Tan (alpha/2)=1

alpha=2*arctan (1)

        =90°

Ich verstehe die Stelle sin(alpha/2)/cos(alpha/2)=1 nicht. Kann mir das eventuell jemand genauer erklären?

Vielen Dank im vor raus!

LG

Niklas

Comments

Wo ist bei dir der Winkel alpha ?
Üblicherweise unten links.
Dann wäre beta auch 90 °
( Gleichschenkligkeit ).

Oder soll alpha der obere Winkel sein?
Was ist gegeben ?
g als Grundseite
h als Höhe.
Damit wäre das Dreieck schon festgelegt.

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Alpha ist der Winkel gegenüber der Hypotenuse g.

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Mir ist die Sachlage noch völlig unklar
bzw. was du überhaupt willst

Hier die Skizze eines gleichschenkligen
Dreiecks

Sind g und h bekannt ist das Dreieck
bereits definiert / eindeutig.

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Ich bin selbst schon auf die Lösung gekommen. Da der Tangens Gegenkathete/Ankathete ist und beide den selben Wert haben ist das Ergebnis 1. Danke Trotzdem!

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Keine Variable ist definiert es ging nur darum die von mir aufgestellte Hypothese mittels Haupt - und Nebenbedingung zu beweisen.

LG

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"Mich hat interessiert, ob in einem gleichschenkligen Dreieck der Flächeninhalt am größten ist"

Das soll wohl heißen:

"Mich hat interessiert, ob unter allen gleichschenkligen Dreiecken der Flächeninhalt des rechtwinkligen am größten ist."

Falls ich das richtig geraten habe, hier die Antwort: Es gibt eine Formel für die Dreiecksfläche, die lautet (bezogen auf diesen Fall): Wenn s die Schenkellänge eines gleichschenkligen Dreiecks ist und α der Winkel zwischen den Schenkeln, dann ist die Fläche F=s²/2·sin(α). Da sin(90°) den größten Wert unter allen sin(α) hat, ist das rechtwinklige Dreieck das flächengrößte unter den gleichschenkligen.

Answer 1

Hallo Niklas,

sicher ist die Aufgabenstellung die, dass die Länge \(a\) der Schenkel gegeben ist und nun der Winkel \(\alpha\) zwischen den Schenkeln gesucht ist, bei dem der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Ein Bild sagt mehr als tausned Worte:

zu Deiner Frage: "Ich verstehe die Stelle sin(alpha/2)/cos(alpha/2)=1 nicht."

Dividiere die vorhergehende Gleichung durch \(\cos \frac{\alpha}{2}\)

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} \quad \mid \div \cos \frac{\alpha}{2}$$

$$\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = 1$$

... da in Zähler und Nenner des Bruchs der gleiche Ausdruck steht. Und \(\sin/\cos = \tan\) siehe 'https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#Definition'.