Minimum / Maximum von sin und cos Funktion

Question

Wie berechnet man die Hochpunkte und Tiefpunkte dieser Funktion?

\( f(x)=\sin (2 x)+a \cos x, \quad(a \in \mathbb{R}) \)

Ansatz:

Bei der 1. Ableitung kommt x = arcsin (-2/a) heraus.

Wenn ich das allerdings in die 2. Ableitung einsetze - kann ich nicht sagen ob der Ausdruck > oder < als 0 ist, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Answer 1

Wie kommst du auf deine Extremstellen ? Ich hätte dort etwas anderes ?

f(x) = SIN(2·x) + a·COS(x)

f'(x) = 2·COS(2·x) - a·SIN(x)

f''(x) = - 4·SIN(2·x) - a·COS(x)

Extremstellen f'(x) = 0

2·COS(2·x) - a·SIN(x) = 0

2·(1 - 2·SIN(x)^2) - a·SIN(x) = 0

- 4·SIN(x)^2 - a·SIN(x) + 2 = 0

SIN(x) = - a/8 ± √(a^2 + 32)/8

Comments

So sieht es aus bei mir:

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Wenn du ein - aus der Klammer ziehst bleibt

(- COS²(x) + SIN²(x))

Das Minus vor dem COS hast du vergessen.

Es wär auch zu schön wenn du dann einfach die Klammer zu 1 auflösen kannst.

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ah stimmt! wäre zu schon) danke für den Tipp! 

Answer 2

$$ f(x) = \sin(2x )+ a \cdot \cos (x) $$
$$ f'(x) =2 \cdot  \cos(2x )- a \cdot \sin (x) $$
$$ f'(x) =2 \cdot \cos^2(x) - 2 \cdot\sin^2(x)- a \cdot \sin (x) $$
$$ f'(x) =2 \cdot (1-\sin^2(x) )- 2 \cdot\sin^2(x)- a \cdot \sin (x) $$
$$ f'(x) =2 -2\cdot \sin^2(x) )- 2 \cdot\sin^2(x)- a \cdot \sin (x) $$
$$ f'(x) =2 -4\cdot \sin^2(x) )- a \cdot \sin (x) $$
$$ f'(x) =0 $$
$$ 0 =4\cdot \sin^2(x) )+ a \cdot \sin (x)-2 $$

Hier entstehen vier Basislösungen und die Periodizität ist zu beachten.

Deine Ableitung halte ich für unkorrekt.