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folgende Aufgabe ist gegeben:

In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich pro Sekunde um 0,5%.
Begründe, warum man hier näherungsweise von exponentieller Abnahme sprechen kann und bestimme den Abnahmefaktor a.


Ich denke eine exponentielle Abnahme ist es darum, weil es eine konstante prozentuelle Änderung pro Sekunde gibt. Aber wie kann ich den Abnahmefaktor berechnen? 

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die Frage ist doch: wie ist 'Abnahmefaktor' definiert? Ich unterstelle mal, es soll der Parameter aa in einer Funktion

h(t)=h0ath(t)=h_0 \cdot a^{-t}

sein. Wobei h(t)h(t) die Höhe des Bierschaums nach der der Zeit tt ist und h0h_0 die Höhe zur Zeit t=0t=0. Und tt ist die Zeit in Sekunden! Besser man setzt dies als

h(t)=h0etTh(t) = h_0 \cdot e ^{\frac{-t}{T}}

an. Mit TT als der Zeitkonstanten, die die Abnahme der Höhe beschreibt. Das hat nämlich den Vorteil, dass man nach dem Blick auf die Ableitung

h˙(t)=h01TetT=1Th(t)\dot h(t) = h_0 \frac{1}{T} \cdot e^{\frac{-t}{T}} = \frac{1}{T} \cdot h(t)

den Parameter 1/T=0,5%1s=0,0051s1/T= 0,5\% \frac{1}{s}= 0,005 \frac{1}{s}  gleich ablesen kann: T=200s\Rightarrow T= 200\text{s}. Und das obige aa wäre dann:

a=e1T1,00501a = e^{\frac{1}{T}} \approx 1,00501

... gilt aber nur, wenn tt in Sekunden angegeben wird.

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Noch eine Bemerkung: wenn die Funktion

h(t)=h0ath(t) = h_0 \cdot a^t

lauten soll (ohne Minus), dann wäre

a=e1T0,99501a = e^{\frac{-1}{T}} \approx 0,99501

wenn TT in Sekunden angegeben wird

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