Zeigen, dass Gleichung genau 3 Lösungen hat

Question

Hallo wie zeigt man, dass die Gleichung $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}= 0$$ genau 3 reelle Lösungen hat? Mit dem Zwischenwertsatz komme ich zu keinem Ergebnis.

Comments

Tipp: $\dfrac1x+\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}=\dfrac{4x^3-27x^2+46x-15}{x(x-1)(x-3)(x-5)}$ hat offenbar höchstens drei reelle Nullstellen.

Answer 1

Mit dem Zwischenwertsatz komme ich zu keinem Ergebnis.
Wo sind denn die Definitionslücken des Terms auf der linken Seite?
Suche zwischen den Definitionslücken jeweils ein x mit f(x) > 0 und ein x mit f(x) < 0.
So könntest du schon mal aus "mindestens" 3 Lösungen kommen. 

Comments

Die Definitionslücken sind 0, 1, 3 und 5.

Im Intervall $$(0,1)$$ ist $$f(0,4)>0$$ und $$f(0,5)<0$$

Also existiert dort eine Nullstelle.

Analog in den Intervallen $$(1,3)$$ zwischen $$f(2) > 0$$ und $$f(2,1)<0$$ sowie bei $$(3,5)$$ zwischen $$f(4,2)>0$$ und $$f(4,3)<0$$

Wie zeigt man jetzt, dass es genau 3 sind?

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Weisst du, wie man Funktionen graphisch addiert? 

Dann kannst du via Monotonie ... ausschliessen, dass da noch weitere Nullstellen vorkommen.

Bsp.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/xf₂(x) = 1/(x+1)f₃(x) = 1/x+1/(x+1) 

 

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Habe die Funktion mal gezeichnet, aber ich wüsste nicht wie man formal mit der Monotonie argumentieren könnte. Am Graphen ist es ja erkennbar.

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Vgl. Bemerkung von nn.

Wenn man alles auf einen Bruchstrich bringt, wie im Kommentar von nn, und oben als höchste Potenz von x nur x³ vorkommt, kann es nicht mehr als 3 Nullstellen geben.