Differential einer Matrizenabbildung berechnen

Question

Berechne DF (A,B)(C,D), wobei F:ℝ^n,n  x Gl (n)→ℝ^n,n   durch 

F (A,B)=B^-1 A  

definiert durch 

Gl (n)={B: ℝⁿ x ℝⁿ  | B linear und bijektiv}

Danke für die Tipps

EDIT: Sinnvoller Betreff + Korrektur aus Kommentar.

Comments

Berechne DF (AB)(CD) ...

Und was genau soll das sein? Muss man das erraten? Ist es vielleicht ein Differential und sollte \(DF(A,B)(C,D)\) lauten?

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genau so sieht es es: Es soll das Differential sein DF(A,B)(C,D).

Bitte um Entschuldigung

Answer 1

Ich schreibe \((H,K)\) statt \((C,D)\).

Fuer festes \((A,B)\) ist die in \(H\) und \(K\) lineare Bestnaeherung an $$(*)\qquad F(A+H,B+K)-F(A,B)$$ gesucht. Das ist dann \(DF(A,B)(H,K)\).

Kleine Zwischenrechnung: $$\begin{aligned}(B+K)^{-1}&=[B(E+B^{-1}K)]^{-1}\\&=(E+B^{-1}K)^{-1}B^{-1}\\&\doteq(E-B^{-1}K)B^{-1}\\&=B^{-1}-B^{-1}KB^{-1}.\end{aligned}$$ An der Stelle \(\doteq\) habe ich die Neumannsche Reihe benutzt und die nichtlinearen Terme weggeschmissen. Fuer Letzteres soll \(\doteq\) weiter stehen.

Jetzt bekommt man für (*) $$\begin{aligned}(B+K)^{-1}(A+H)-B^{-1}A&\doteq(B^{-1}-B^{-1}KB^{-1})(A+H)-B^{-1}A\\&\doteq B^{-1}H-B^{-1}KB^{-1}A\\&=DF(A,B)(H,K).\end{aligned}$$

Kleine Plausibilitaetskontrolle: Fuer \(n=1\) und \(F(a,b)=a/b\) hat man $$DF(a,b)(h,k)=\frac{1}{b}h-\frac{a}{b^2}k.$$ Das ist das vollstaendige Differential.

Comments

Vielen Dank

wie komme ich auf diese Approximation (∗)F(A+H,B+K)−F(A,B)

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Wie meinen?

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ich frage mich nur, wie man darauf kommt, dass F(A+H,B+K)−F(A,B) gesucht ist.

Mir ist das noch etwas unschlüssig?

Also anders formuliert wie komme ich auf:

F(A+H,B+K)−F(A,B)=DF(A,B)(H,K).

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Ich hab Dich gefragt, was DF sein soll, und Du hast gesagt: ja, das soll ein Differential sein. Wenn Du jetzt gar nicht weisst, was ein Differential ist, stelle ich mir langsam auch ein paar Fragen ... Gib an, wo Du die Frage her hast, und in welchem Kontext sie gestellt wurde. Nebenbei steht in dem Statz mit dem (*) gerade drin, was DF ist. Da musst Du selber auf gar nichts kommen (vom Ergebnis mal abgesehen).

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Doch das ist ein Differzial,

sorry stande gerade mega auf dem Schlauch, habe es verstanden

vielen Dank nochmal:)