auf Untervektorraum prüfen. K = R, V = R3, U = {(x,y,z)t | | x + y - z = 0 }

Question

Welche der folgenden Mengen U sind Untervektorräume der K-Vektorräume V ?
Beweisen oder widerlegen Sie

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EDIT: Bitte https://www.mathelounge.de/schreibregeln beachten: Eine Frage / Frage und Fragen abtippen (habe nun mal a) teilweise in die Überschrift getippt) . 

Answer 1

Hi,

hier mal was zu den ersten drei Teilen:

a) U ist ein UVR, da:

Sei $\lambda \in \mathbb{R}$ beliebig.

$$(x,y,z)^t\ \in U \\ \Rightarrow x+y=z \\\Rightarrow \lambda (x+y)= \lambda z \\ \Rightarrow \lambda x + \lambda y = \lambda z \\ \Rightarrow (\lambda x,\lambda y, \lambda z)^t\ \in U \\ \lambda (x,y,z)^t \in U$$

und:

Ist $(x_1,y_1,z_1)^t\ \in U$ und $(x_2,y_2,z_2)^t\ \in U$, so gilt: $x_1+y_1=z_1$ und $x_2+y_2=z_2$

Damit folgt: $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(z_1+z_2)$

Es gilt also: $(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)^t\ \in U$

b) U ist trivialerweise ein UVR. Überlege dir dazu welche Elemente in U sind.

c) U ist kein UVR:

Es gilt: $(1,i) \in U$ und $(-2,2i) \in U$, aber $(1-2,i+2i)=(-1,3i) \notin U$

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weiso das gilt nicht (−1,3i)∉U   ? wenn die hier beide gilten  

(1,i)∈U(1,i)∈U und (−2,2i)∈U

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Was muss denn gelten, damit $(-1,3i) \in U$?

Answer 2

a) ist ein UVR 

K = R, V = R³, U = {(x,y,z)^t | | x + y - z = 0 }  

Grund: (0|0|0) ist Element von U und x + y - z = 0 ist eine Ebenengleichung. 

Comments

Das ist übrigens dasselbe wie hier https://www.mathelounge.de/458801/zeigen-sie-dass-die-menge-x-y-z-e-…