Funktionsschar , warum rechnet man das hier so?

Question

erstmal möchte ich mich hier bei euch allen bedanken, dass ihr mir so hilft, ohne euch wäre ich aufgeschmissen... Und meine Frage : ich verstehe nicht, warum die das hier so rechnen... also es handelt sich um die Aufgabe 3.1 und warum m= a²-6a+9 die Steigung ist, und b=0 , also der Y-Achsenabschnitt gleich 0 beträgt. Weil eine linerae Funktion hat doch die Formel f(x)=mx+b oder? Könntet ihr mir das alles bitte erklären? Also die Vorgehensweise? Wäre euch wirklich dankbar

Answer 1

Hi, es gilt:$$\frac{f(a) }{a}=\frac{a^3-6a^2+9a}{a}=a^2-6a+9$$Somit gilt:$$h_a(x) =(a^2-6a+9) \cdot x$$Für den y-Achsenabschnitt berechne $h_a(0)$:$$h_a(0) =(a^2-6a+9) \cdot 0 =0$$

Comments

Supii, danke danke danke, nur ist das eine lineare Funktion? Dumme Frage, aber da ist doch ein quadrat dabei oder? :S

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Bitte :)
Und das ist keine dumme Frage.

Da ist zwar ein Quadrat dabei, aber das Quadrat bezieht sich nicht auf das $x$, sondern auf das $a$. Der Term $a^2-6a+9$ ist die Steigung der Funktion.

Für $a=0$ gilt $a^2-6a+9=0^2-6 \cdot 0 +9=9$ und somit $h_0(x)=9x$. (Blau)

Für $a=1$ gilt $a^2-6a+9=1^2-6 \cdot 1 +9=4$ und somit $h_1(x)=4x$. (Rot)

Für $a=3$ gilt $a^2-6a+9=3^2-3 \cdot 1 +9=-18$ und somit $h_3(x)=-18x$. (Grün)

Plotlux öffnen

f₁(x) = 9xf₂(x) = 4xf₃(x) = -18x

Hier siehst du auch, dass dein y-Achsenabschnitt tatsächlich immer 0 ist.

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Oh mein Gott ich habe es endlich verstanden, cool danke :D , also das a bestimmt hier die Steigung der Funktion,  und diese ist wiederum abhängig von den Werten, die man für a einsetzt & somit ergibt sich dann die Steigung, und die hier von dir dargestelltenen Funktionen sind Funktionsscharen?

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Bitte :)
Ja, die Wahl von $a$ bestimmt die Steigung. Änderst du dein $a$, so änderst du automatisch die Steigung der Funktion. Und ja, das sind alles Funktionsscharen, da deine Funktion (hier speziell die Steigung der Funktion) abhängig ist vom Parameter $a$.

Answer 2

Zuerst einmal deine Frage leserlich machen

f ( x ) = x³ - 6x² + 9x
f ( a ) = a³ -6a² +9a

h_a  (x) = f ( a ) / a * x
h_a (x) = a * ( a² - 6a + 9 ) / a * x
h_a  ( x ) = ( a - 3 ) ² * x

a = 2
h₂ ( x ) = ( 2 - 3 )² * x = 1 * x

y = m * x + b
m = 1
b = 0

Noch eine Gerade der Schar als Beispiel
a = 5
h_a  ( x ) = ( a - 3 ) ² * x
h₅  ( x ) = ( 5 - 3 ) ² * x
h₅ ( x ) = 4 * x
y = m * x + b
m = 4
b = 0

Answer 3

eine lineare Funktion hat doch die Formel f(x)=mx+b oder?

Genau !

Aber hier stand ja :   h_a(x) = f(a) / a  * x

oder auch         h_a(x) = f(a) / a  * x   +  0

Daran siehst du  m= f(a) / a     und  y-Achsenabschnitt 0

Und mit der Funktion f aus Teil 1.

Also f(x) = x³ - 6x² + 9x . Also ist f(a) = a³ - 6a² + 9a .   Da kannst du a ausklammern 

wenn du dann f(a) / a bildest kannst du durch a kürzen und es bleibt a² - 6a + 9

Comments

Oh danke , also du meinstest, man sieht durch ha(x)= f(a)/a*x+0 , dass der Y-Achsenabschnitt gleich 0 ist gell? Heißt das, dass man quasi f(a)/a als das m bezeichnen könnte, das x ganz normal als das x aus der Formel, und dann den letzten nicht vorhandenen Teil (....+b) als den Y-Achsenabschnitt betrachten könnte? 

Und das quadrat stört mich hier, denn ich dachte , dass eine lineare Funktion kein Quadrat oder so hätte :s oder ich bin verwirrt, von dem ganzen Lernen 

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Du hast alles richtig interpretiert. Das Quadrat ist ja nicht am x sondern am a.

Also ist a² - 6a + 9 einfach nur eine Formel. mit der für jede der Geraden die

Steigung berechnet. Denn es sind ja viele Geraden, für jedes a eine andere.