Matrix einer linearen Abbildung: a) T= Drehung in der x,y-Ebene, also um die z-Achse, um 60°.

Question

Schon seit einigen Stunden versucht unsere Lerngruppe diese Aufgabe zu lösen, aber wir kommen nicht auf die richtige Lösung, warum auch immer...

Wir wären sehr dankbar für die Lösung bzw. einen Ansatz damit wir die Aufgabe auch selber lösen könnten.

Bestimmen Sie die Matrizen der linearen Abbildungen bezüglich der angegebenen Basen.

a) V = ℝ³ mit Standardbasis.
T = Drehung in der x,y-Ebene, also um die z-Achse, um 60°.

b)  V := {a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ : a_j ∈ ℝ } der Vektorraum der reellen Polynome in x vom Grad ≤ 3, mit Basis B = {1,x,x²,x³}.
T : V → V mit ( T(p) )(x) = xp'(x)

c) V und B wie in (b); T : V → V mit ( T(p) )(x) = (xp(x))'

Comments

Dafür suchst du in der Wikipedia (der deinen Unterlagen) die Drehmatrizen selbst. Du musst ja nur noch 60° für phi einsetzen 

Answer 1

a) Geht auch ohne die Formeln, einfach über

die Erkenntnis: In der jeweiligen Spalte

steht das Bild des entsprechenden Basisvektors.

Der 3. Basisvektor ändert sich gar nicht.

also steht in der 3. Spalte der Matrix schon mal 

0
0
1

Aus dem ersten wird 

0,5
0,5*√3  
0

Das wird also die 1. Spalte und entsprechend

wird aus dem 2. Basisvektor

- 0,5*√3  
0,5
0

Matrix also 

0,5             - 0,5*√3         0
0,5*√3            o,5             0
 0                    0               1

b) Wieder die Bilder der Basisvektoren bestimmen

T(1) = x0 = 0 also das Nullpolynom

==>  1. Spalte alles 0en.

T(x) = x* 1 = x also 2. Spalte 

0
1
0
0

etc.

c) T(1) = (x*1) ' = 1 , also 1. Spalte 

1
0
0
0

T(x) = (x*x)' = 2x , also 2. Spalte 

0
2
0
0

etc.