Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Kurze Begründung

Question

Ich weiß, dass man für die Aufgabe die Additivität und Homogenität prüfen muss, um zu entscheiden ob eine Funktion linear ist. Allerdings habe ich Probleme damit das konkret anzuwenden. Könnte mir jemand zeigen wie es geht? 

Answer 1

a) ist linear, denn das Bild von (x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4) ist  (x2+y2,x4+y4)

also gleich der Summe der einzelnen Bilder, entsprechend für Vielfache.

b) da passt es auch, aber bei c) klappt es nicht,

denn Bild von (1,1) ist (2,1,1) 

und Bild von (2,2) ist (4,1,2) das ist nicht das Zweifache von  (2,1,1) .

Bei d klappt es, falls das x nicht in der Wurzel steht.

Bei e nicht 

Comments

Bei d) Kann es doch nicht klappen oder? und Warum klappt es bei e) nicht ?

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und Warum klappt es bei e) nicht ?

\(e(x)=x^2\)

\(e(-1+1)=e(0)\)

Wäre \(e(x)\) linear, so müsste gelten: \(e(-1+1)=e(-1)+e(1)\) 

Es ist \(\underbrace{e(-1)}_{=(-1)^2=1}+\underbrace{e(1)}_{=1^2=1}=2\), aber \(e(-1+1)=e(0)=0^2=0\neq 2\).

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Warum klappt es denn bei d? und wie siehts dann bei f und g aus?

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d)  f(x) = x*√2   (so ist es doch wohl gemeint ??)

also f(x+y)=(x+y)*√2=x*√2 +y*√2 =f(x)+f(y)

entsprechend f(a*x) =..........=a*f(x)

f) schreib doch einfach mal alle Zuordnungen auf

(sind nur 2 )      0 ---->  0

                         1 ----->  1

entspricht der Identität auf F₂, also linear.

g) Berechne die Bilder von (2;3) und von 2*(2;3).