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Aufgabe:

Sei \( V=K^{n} . \) Für \( i \in \mathbb{N} \) mit \( 1 \leq i \leq n, \) sei \( e_{i} \in V \) definiert als

$$ e_{i}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) $$

wobei die Eins in der \( i \) -ten Zeile ist. Zeigen Sie, dass \( \left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right) \) eine Basis von \( V \) ist.

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Anstelle von Pfeilen schreibe ich hier Vektoren fett. 

Sei v = (v1, v2, v3, …, vn) ein beliebiger Vektor aus V. (Anmerkung: Schreib diesen Vektor vertikal)

Jetzt ist zu zeigen, dass sich v eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt.

Als Beweis gebe ich die (wegen der Nullen in den Basisvektoren) einzig denkbare Linearkombination gleich an:

v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + … + vn en

Diese Zerlegung existiert.

Deshalb ist (e1, e2, e3, … en) eine Basis von V

 

Ich verwende hier die erste der aufgeführten äquivalenten Eigenschaften von Basen in:

http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)

 

von 160 k 🚀

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