Beweis einer Basis von V (Eins in der i-ten Zeile)

Question 1

Aufgabe:

Sei $ V=K^{n} . $ Für $ i \in \mathbb{N} $ mit $ 1 \leq i \leq n, $ sei $ e_{i} \in V $ definiert als

$$ e_{i}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) $$

wobei die Eins in der $ i $ -ten Zeile ist. Zeigen Sie, dass $ \left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right) $ eine Basis von $ V $ ist.

Question 2

Anstelle von Pfeilen schreibe ich hier Vektoren fett.

Sei v = (v1, v2, v3, …, vn) ein beliebiger Vektor aus V. (Anmerkung: Schreib diesen Vektor vertikal)

Jetzt ist zu zeigen, dass sich v eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt.

Als Beweis gebe ich die (wegen der Nullen in den Basisvektoren) einzig denkbare Linearkombination gleich an:

v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 + … + vn en

Diese Zerlegung existiert.

Deshalb ist (e1, e2, e3, … en) eine Basis von V

Ich verwende hier die erste der aufgeführten äquivalenten Eigenschaften von Basen in:

Lu · Answer 1 · 2012-11-07T19:00:57+0000