Zur Exponentialfunktion. Zeigen, dass lim (exp(x))/ (x^q) = unendlich für natürliche q?

Question

Es sei q ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \exp ( x ) } { x ^ { q } } = \infty $$

gilt, d. h. die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenzfunktion.

Answer 1

Tipp: Für alle \(x>0\) gilt \(\displaystyle\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}>\frac{x^{q+1}}{(q+1)!}\).