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Bestimmen Sie den Realteil und Imaginärteil von (1 + i)^6.

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Als Alternative zu der bereits vorhandenen Lösung, könntest Du \(z=i+6\) zuerst in die Polarform umwandeln, wodurch das Potenzieren erleichtert wird. Anschließend kannst Du wieder die kartesische Form herstellen und \(\Re(z)\) bzw. \(\Im(z)\) ablesen.

Erstmal Danke für die Hilfe. Wenn ich das über die Polarform rechne dann komme ich ja auf (√2 ·ei*1/4 π) und das alles dann ()6 - wie genau berechne ich das ganze ab da dann genau? Mit Potenzgesetzen habe ich dann die Hoch 6 mit hinein gerechnet aber ab da hakt es dann bei mir... 

Es ist \(z=i+1\). Um \(\left(\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot 0.25\pi}\right)^6\) zu berechnen, wendest Du erstmal die Potenzgesetze an:

[spoiler]

\(=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}\)

\(=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}\)

\(=8\cdot e^{i\cdot 1.5\pi}\)

[/spoiler]

Nun rechnest Du das Ergebnis wieder in die kartesische Form zurück:

[spoiler]

\(z^6=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))\)

\(=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))\)

\(=8\cdot (0-8i)\)

[/spoiler]

Daraus folgt:

[spoiler]

\(\Re(z^6)=0\) und \(\Im(z^6)=-8\)

[/spoiler]

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z= (1+i)^6 =(1+i)^2 *(1+i)^2 *(1+i)^2

= 2i *2i *2i

=  -8i 

->

Re(z)= 0

Im (z) -8

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Der Binomische Satz kann helfen

(a + b)^6 = a^6 + 6·a^5·b + 15·a^4·b^2 + 20·a^3·b^3 + 15·a^2·b^4 + 6·a·b^5 + b^6

(1 + i)^6 = 1 + 6·i - 15 - 20·i + 15 + 6·i - 1 = - 8·i

Noch einfacher durch Umwandlung in die e-Notation

1 + i = √2·e^{45°·i}

(1 + i) = (√2·e^{45°·i})^6 = 8·e^{270°·i} = - 8·i

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