Es wird verlangt den Real- und Imaginärteil zu berechnen von (1+i)6

Question

Bestimmen Sie den Realteil und Imaginärteil von (1 + i)⁶.

Comments

Als Alternative zu der bereits vorhandenen Lösung, könntest Du $z=i+6$ zuerst in die Polarform umwandeln, wodurch das Potenzieren erleichtert wird. Anschließend kannst Du wieder die kartesische Form herstellen und $\Re(z)$ bzw. $\Im(z)$ ablesen.

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Erstmal Danke für die Hilfe. Wenn ich das über die Polarform rechne dann komme ich ja auf (√2 ·e^{i*1/4 π}) und das alles dann ()⁶ - wie genau berechne ich das ganze ab da dann genau? Mit Potenzgesetzen habe ich dann die Hoch 6 mit hinein gerechnet aber ab da hakt es dann bei mir... 

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Es ist $z=i+1$. Um $\left(\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot 0.25\pi}\right)^6$ zu berechnen, wendest Du erstmal die Potenzgesetze an:

$=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}$

$=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}$

$=8\cdot e^{i\cdot 1.5\pi}$

Nun rechnest Du das Ergebnis wieder in die kartesische Form zurück:

$z^6=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))$

$=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))$

$=8\cdot (0-8i)$

Daraus folgt:

$\Re(z^6)=0$ und $\Im(z^6)=-8$

Answer 1

z= (1+i)⁶ =(1+i)² *(1+i)² *(1+i)²

= 2i *2i *2i

=  -8i 

->

Re(z)= 0

Im (z) -8

Answer 2

Der Binomische Satz kann helfen

(a + b)⁶ = a⁶ + 6·a⁵·b + 15·a⁴·b² + 20·a³·b³ + 15·a²·b⁴ + 6·a·b⁵ + b⁶

(1 + i)⁶ = 1 + 6·i - 15 - 20·i + 15 + 6·i - 1 = - 8·i

Noch einfacher durch Umwandlung in die e-Notation

1 + i = √2·e^45°·i

(1 + i) = (√2·e^45°·i)⁶ = 8·e^270°·i = - 8·i