Untergruppe von G, der Zentralisator con a in G

Question

Hallo Kann mir jemand helfen mit diese Teilaufgaben  ?

Comments

https://www.mathelounge.de/schreibregeln Punkt 4 beachten.

---

Ohhh sorry wird nicht wieder passieren

---

Es Sei (G,*) eine Gruppe:

(b) Für a €G ist die Menge   Ca = {x€G l x * a = a *x } eine Untergruppe von G, der  Zentralizator von a in G

(c) Die Menge  (Vereinigung) Ca ist eine Untergruppe von G, das Zentrum von G

---

Bei (c) steht aber Schnitt und nicht Vereinigung. Das ist ein wesentlicher Unterschied. Tipp: Der Schnitt ueber eine beliebige Menge von Untergruppen ist immer auch selber eine Untergruppe. Dafuer braucht man die neuen Begriffe aus der Aufgabe gar nicht. Schreib mal auf, was man verifizieren muss, um zu erkennen, dass der Schnitt tatsaechlich eine Untergruppe ist.

---

Ohh ja das ist ein riesen Unterschied , Danke für den Tipp.

Answer 1

b) prüfe:  Sei a ∈ G. Das neutrale El. von G ist in C_a  

Musst also schauen, ob für das neutrale El. n die Bedingung 

n*a = a*n gilt. Dem ist so: Def. des neutr. El.

UND: Abgeschlossenheit:  Seien  x,y  ∈ C_a , dann auch x*y.

Das ist klar, weil 

(1)x*a = a*x      und  (2) y*a = a*y

==>   (x*y)* a = wegen assoziativ

          x*(y*a) =   wegen (2)

         x*(a*y)  = wegen assoziativ

         (x*a)*y= wegen (1)

         (a*x)*y =   a(x*y)   

also (x*y) ∈ C_a .

==>  C_a Untergruppe von G