Zeige, dass für jeden Teiler t von n genau eine Untergruppe H von G mit Mächtigkeit(H)=t existiert.

Question

Aufgabe:

Sei $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Zeige, dass für jeden Teiler $t$ von $n$ genau eine Untergruppe $H$ von $G$ mit $|H|=t$ existiert.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen - ich habe mir zur gegebenen Aufgabe jetzt einmal folgenden Beweis überlegt:

Sei $G=(a)$ und $|G|=o(a)=n$. Wenn t eín Teiler von $n$ ist, dann ist $H_{t}=\left(a^{n / t}\right)$ eine Untergruppe der Ordnung t, da $o\left(a^{n / t}\right)=t$.

Sei H nun eine beliebige Untergruppe der Ordnung t. Dann ist $H$ zyklisch, also $H=\left(a^{k}\right)$ mit $1 \leq k \leq n$.
$\begin{aligned} \text { Da }=o\left(a^{k}\right) & =n \mid \operatorname{ggt}(k, n) \text { gilt }: \\ \operatorname{ggT}(k, n) & =n / t \end{aligned}$

Daher gilt:
$k=\frac{n}{t} d \text { mit } 1 \leq d \leq t .$

Somit ist jedes Element in $\mathrm{H}$ auch in $\mathrm{H}_{t}\left(\mathrm{H} \subseteq \mathrm{H}_{t}\right)$
$H=H_{t} da |H|=t=\left|H_{t}\right|$

Daher ist jede Untergruppe der Ordnung t äquivalent zu $H_{t}$, weshalb $H_{t}$ die einzige Untergruppe der Ordnung t ist:

Kann ich den Beweis so führen (oder habe ich da noch was übersehen??)

LG Euler