Aufgabe:
Sei \( G \) eine zyklische Gruppe der Ordnung \( n \). Zeige, dass für jeden Teiler \( t \) von \( n \) genau eine Untergruppe \( H \) von \( G \) mit \( |H|=t \) existiert.
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen - ich habe mir zur gegebenen Aufgabe jetzt einmal folgenden Beweis überlegt:
Sei \( G=(a) \) und \( |G|=o(a)=n \). Wenn t eín Teiler von \( n \) ist, dann ist \( H_{t}=\left(a^{n / t}\right) \) eine Untergruppe der Ordnung t, da \( o\left(a^{n / t}\right)=t \).
Sei H nun eine beliebige Untergruppe der Ordnung t. Dann ist \( H \) zyklisch, also \( H=\left(a^{k}\right) \) mit \( 1 \leq k \leq n \).
\( \begin{aligned} \text { Da }=o\left(a^{k}\right) & =n \mid \operatorname{ggt}(k, n) \text { gilt }: \\ \operatorname{ggT}(k, n) & =n / t \end{aligned} \)
Daher gilt:
\( k=\frac{n}{t} d \text { mit } 1 \leq d \leq t . \)
Somit ist jedes Element in \( \mathrm{H} \) auch in \( \mathrm{H}_{t}\left(\mathrm{H} \subseteq \mathrm{H}_{t}\right) \)
\( H=H_{t} da |H|=t=\left|H_{t}\right| \)
Daher ist jede Untergruppe der Ordnung t äquivalent zu \( H_{t} \), weshalb \( H_{t} \) die einzige Untergruppe der Ordnung t ist:
Kann ich den Beweis so führen (oder habe ich da noch was übersehen??)
LG Euler
