f(x) = -x^3 + 3ex^2 - 4e^3
Bestimme die Lage der Extrempunkte in Abhängigkeit von e.
Gib an, wann Tiefpunkte und Hochpunkte
Gibt es immer Extrempunkte für alle e?
Funktionsschar in Abhängigkeit von Parameter
Vom Duplikat:
Titel: TIP und Top von Funktionsschar in Abhängigkeit von Parameter. Waagrechte Tangenten ?
Stichworte: funktionenschar,extrempunkte,hochpunkt
f(x)= - x^3+3ex^2-4e^3
Gibt es immer Extrempunkte für alle e ?
Bilde die 1. und 2. Ableitung.
1.Ableitung Null setzen
Ergebnis in die 2. einsetzen. Falls >0, --> Mininum, falls <0 --> Max.
Die Nullstellen der ersten Ableitung sind Lösungen der Gleichung -3x2+6ex= 0, also x=0 und x=2e. Das Berechnen der Punkte an diesen Stellen führt dann zu (0|-4e3) und (2e|0). Diese gibt es immer. Die Entscheidung, ob das Hoch- oder Tiefpunkte sind, kann getroffen werden, wenn man weiß, ob e<0 oder e>0..
f ' (x)= -3x^2+6ex
f ' (x) = 0 <=> x=0 oder x = 2e
f ' ' (x) = -6x + 6e ==> f ' ' (2e) = -12e + 6e = -6e
und f ' ' (0) = 6e
also existiert für e≠0 immer zwei Extrempunkt bei (2e; 0)
und bei (0; -4e^3 )
Im Falle e=0 bleibt f (x) = -x^3 also kein
Extrempunkt.
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