Bestimmen Sie (idV−f)◦(idV+f+f2) für k= 3

Question

Ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe und leider überhaupt keine Ahnung was ich damit machen soll und wie der Beweis geht. Kann mir dazu jemand einen Tipp geben? Wäre wirklich wichitg weil ich möchte das auch verstehen.

Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung f∈ End_K(V) heißt nilpotent, wenn f^k=0 für ein k∈N, und idempotent, wenn f²=f. Die Abbildung f ist eine Involution, wenn f²= idV.

Sei f∈End_K(V)nilpotent mit f^k= 0 und f^k−1≠ 0für k∈N. Bestimmen Sie (idV−f)◦(idV+f+f²) für k= 3. Zeigen Sie zudem, dass idV−f bijektiv ist für alle k∈N.

Comments

Gut, dass du die nötigen Definitionen gleich mit angibst. 

"Bestimmen Sie (idV−f)◦(idV+f+f²) für k= 3."

heisst dann wohl, dass für f gilt f ≠0, f² ≠0, aber f³ = 0. Somit kannst du f³ schon mal weglassen. 

(idV−f)◦(idV+f+f²) kannst du doch einfach nach dem Distributivgesetz ausmultiplizieren und nachher vereinfachen. Oder? 

Das mit der Involution braucht man vermutlich gar nicht für die Rechnung. 

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Und wie multipliziere ich das aus? Bzw. wie kann ich das ausmultiplizierte dann vereinfachen?

Answer 1

Versuch es einfach mal.

(idV−f)◦(idV+f+f²)

= idV*idV + idV*f + idV*f² - f*idV - f² - f³ 

Was könnte man denn hier vereinfachen? 

Comments

ist das

IdV+f^-1+f^-2-f-f²-f³

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(idV−f)◦(idV+f+f²)

= idV*idV + idV*f + idV*f² - f*idV - f² - f³

= idV + f + f² - f - f² - f³

= idV - f³

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Und f³=0.  .  .  

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Danke für den Kommentar. Ja. Das hatte ich schon im Kommentar erwähnt aber nicht mehr explizit fertig gerechnet. 

(idV−f)◦(idV+f+f²)

= idV*idV + idV*f + idV*f² - f*idV - f² - f³

= idV + f + f² - f - f² - f³

= idV - f³

= idV