Question

Sei (an )n∈N eine reelle Folge mit Grenzwert a. Zeigen Sie, dass
(a) limn→∞ an+M = a für alle M ∈ N.
(b) limn→∞ af (n) = a für jede injektive Funktion f : N → N.

Answer 1

Hi,

arbeite mit der Definition der Konvergenz einer Folge.

Wenn die Folge $a_n$ gegen $a$ konvergiert, gilt folgendes: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{\epsilon} \ \forall n \ge N_{\epsilon}: \ \vert a_n - a \vert < \epsilon$

a) Nun betrachtest du $a_{n+M}$. Was gilt nun?

b) Wenn $f$ injektiv ist, werden nur endlich viele $n \in \mathbb{N}$ auf ein $m< N_{\epsilon}$ abgebildet.