Cauchy-Schwarzsche Ungleichung -> Winkel

Question

ich hatte erst eine Frage zu obigen Thema gestellt. Mittlerweile stellt sich mir eine andere Frage dazu, die aus weiterem Nachdenken entstanden ist. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen :)

Es heißt ja, dass durch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung eine reelle Zahl (<x,y>)/(IxI*IyI) zwischen -1 und 1 liegt und es durch den Cosinus eine eindeutig bestimmte Zahl θ=θ_x,y mit der Eigenschaft <x,y>= IxI*IyI*cosθ gibt. Wie ich das rechnerisch beweise verstehe ich, aber wieso denn eigentlich ausgerechnet der Cosinus? Wenn das damit was zu tun hat, dass der Cosinus in [0,π]→[-1,1] bijektiv abgebildet wird, kann man die Formel dann auch für den Sinus passend verändern, weil der ja nicht in dem Intervall bijektiv ist? Und wie kommt man von der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung überhaupt auf die Trigonometrische Funktion? Also besteht da noch irgendein Zusammenhang?

LG meghan16

Comments

Die erwähnte (andere) Frage zum Thema hier https://www.mathelounge.de/511232/cauchy-schwarz-ungleichung-winkel

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Ich weiss nicht, ob es Dir klar ist, aber im Anschauungsraum gilt < x, y > = IxI IyI cos θ, wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren x und y ist. Das kann man nachrechnen.

Man wuesste auch gerne, was Du eigentlich willst. Von wo nach wo soll es denn gehen?

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Das θ der Winkel zwischen x und y ist, weiß ich ja. Ich wollte eigentlich wissen, warum da dann zum Schluss <x,y>=IxI*IyI*cosθ und nicht z.B. *sinθ steht. Aber vielleicht habe ich da auch gerade einen Knoten im Hirn, und denke nur unnötig kompliziert.

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Ich denke Du kennst die Rechnung? Wieso fragst Du dann, warum statt Kosinus nicht Sinus rauskommt? Ist doch genau so geistreich wie die Frage, warum 2·2 = 4 und nicht 5.

In 2D z.B. kannst Du Polarkoordinaten benutzen. $$x=|x|(\cos\phi,\sin\phi)\quad\text{und}\quad y=|y|(\cos\psi,\sin\psi).$$ Ausrechnen ergibt mit dem Additionstheorem für den Kosinus $$\langle x,y\rangle=|x||y|\cos(\phi-\psi)=|x||y|\cos\theta.$$ In anderen Worten: Es kommt eben 4 raus und nicht 5.