Aufgabe:
Es sei n∈N n \in \mathbb{N} n∈N beliebig.(a) Für a1,…,an∈R a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} a1,…,an∈R gilt∑k=1nak≤n(∑k=1nak2)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}k=1∑nak≤n(k=1∑nak2)1/2(b) Für a1,…an∈R a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} a1,…an∈R und 0<p<1 0<p<1 0<p<1 gilt∑k=1nak≤(∑k=1n∣ak∣2p)1/2(∑k=1n∣ak∣2−2p)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}k=1∑nak≤(k=1∑n∣ak∣2p)1/2(k=1∑n∣ak∣2−2p)1/2
Problem/Ansatz:
Wie wendet man hier die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an?
Vom Duplikat:
Titel: Ungleichungen wie zeigen
Stichworte: lineare-algebra,ungleichungen,summe
Hier sollen glaube ich jeweils die Ungleichungen gezeigt werden hat da jemand einen Plan?
Benutze die Cauchy Schwsrz Ungleichung
Wie lautet denn die CSU - in Deinen Bezeichnungen?
a) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt ⟨(1,....,1),(a1,...,an)⟩ \left\langle (1,....,1) , (a_1,...,a_n) \right\rangle ⟨(1,....,1),(a1,...,an)⟩
b) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt ⟨(∣a1∣p,...,∣an∣p),(∣a1∣1−p,...,∣an∣1−p)⟩ \left\langle (|a_1|^p,...,|a_n|^p) , (|a_1|^{1-p},...,|a_n|^{1-p}) \right\rangle ⟨(∣a1∣p,...,∣an∣p),(∣a1∣1−p,...,∣an∣1−p)⟩
und verwende
∑k=1nak≤∑k=1n∣ak∣ \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n |a_k| k=1∑nak≤k=1∑n∣ak∣
a) Verwende v⃗=(a1a2…an) \vec{v}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \dots \\a_n \end{pmatrix} v=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2…an⎠⎟⎟⎟⎞
und u⃗=(11…1) \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \dots \\1 \end{pmatrix} u=⎝⎜⎜⎜⎛11…1⎠⎟⎟⎟⎞ also n Komponenten vom Wert 1.
Cauchy-Schwarz liefert |<u,v>| ≤ ||u||*||v||
==> ∣∑k=1nak∣≤n(∑k=1nak2)1/2|\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} | \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}∣k=1∑nak∣≤n(k=1∑nak2)1/2
Und wenn du links den Betrag weglässt, stimmt es erst recht;
denn die rechte Seite ist ja sicher nicht negativ.
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