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Aufgabe:

Es sei nN n \in \mathbb{N} beliebig.

(a) Für a1,,anR a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} gilt
k=1nakn(k=1nak2)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}

(b) Für a1,anR a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} und 0<p<1 0<p<1 gilt
k=1nak(k=1nak2p)1/2(k=1nak22p)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}


Problem/Ansatz:

Wie wendet man hier die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an?

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Titel: Ungleichungen wie zeigen

Stichworte: lineare-algebra,ungleichungen,summe

Aufgabe:

Es sei nN n \in \mathbb{N} beliebig.

(a) Für a1,,anR a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} gilt
k=1nakn(k=1nak2)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}

(b) Für a1,anR a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} und 0<p<1 0<p<1 gilt
k=1nak(k=1nak2p)1/2(k=1nak22p)1/2\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}


Problem/Ansatz:

Hier sollen glaube ich jeweils die Ungleichungen gezeigt werden hat da jemand einen Plan?

Benutze die Cauchy Schwsrz Ungleichung

Wie lautet denn die CSU - in Deinen Bezeichnungen?

a) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt (1,....,1),(a1,...,an) \left\langle (1,....,1) , (a_1,...,a_n) \right\rangle

b) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt (a1p,...,anp),(a11p,...,an1p) \left\langle (|a_1|^p,...,|a_n|^p) , (|a_1|^{1-p},...,|a_n|^{1-p}) \right\rangle

und verwende

k=1nakk=1nak \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n |a_k|

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a)  Verwende v=(a1a2an) \vec{v}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \dots \\a_n \end{pmatrix}

und u=(111) \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \dots \\1 \end{pmatrix} also n Komponenten vom Wert 1.

Cauchy-Schwarz liefert |<u,v>| ≤ ||u||*||v||

==>   k=1nakn(k=1nak2)1/2|\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} | \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}

Und wenn du links den Betrag weglässt, stimmt es erst recht;

denn die rechte Seite ist ja sicher nicht negativ.

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