Differentialgleichung von komplexen Zahlen

Question

Gegeben seien z1 = 3+4i. Geben Sie eine lineare, homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten an, dessen Lösung durch x(t) = Ae^{z1 t}+ A*e^{z1* t} gegeben ist. 

Bin für jeden Lösungsansatz dankbar. * meint komplex konjugiert.

Comments

Steht da wirklich $x(t) = A e^{z_1 t} +A e^{z_1 t}$ Müssen die Exponenten nicht verschieden sein? Und steht auch wirklich zweima $A$ vor der Exponentialfunktion.?

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Da steht: " * meint komplex konjugiert. " 

Aber zum A steht da nichts. 

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Ok, dann gilt die Antwort unten auch, mit $z_2 = \overline{z_1} = 4 - 4i$ und $B = A$

Answer 1

Hi,

angenommen die Lösung sollte $x(t) = A e^{z_1 t} + B e^{z_2 t}$ lauten. Dann kann man annehmen, das dies eine Lösung einer gew. DGL 2-ter ist, die so aussieht.

$$\ddot x(t) +a \dot x(t) + b x(t) = 0$$ Die charakteristische Gleichung lautet

$$\lambda^2 + a \lambda + b = 0$$ und muss die Nullstellen $z_1$ und $z_2$ haben. Also muss gelten

$$\lambda^2 + a \lambda + b = ( \lambda - z_1) (\lambda -z_2)$$

Daraus folgt $a = -(z_1 + z_2)$ und $b = z_1 z_2$

Die DGL lautet also

$$\ddot x(t) - (z_1 + z_2) \dot x(t) + z_1 z_2 x(t) = 0$$ und hat die geforderte Lösung. Sollte man aber nochmal durch nachrechnen prüfen.