Partialbruchzerlegung anwenden

Question

"  y(s)=1/(s+1)⁴+(s+2)/(s+1)²

Mit Partialbruchzerlegung erhalten wir:
1/(s+1)⁴+(s+2)/(s+1)²=1/(s+1)⁴+(1)/(s+1)+1(s+1)² "

Könnte mir jemand zeigen wie die Partialbruchzerlegung hier angewandt wurde? Danke
.

Answer 1

Meine Berechnung:

Answer 2

Problematisch ist ja nur der 2. Summand, weil man da nicht unmittelbar eine

Stammfunktion erkennt:

(s+2)/(s+1)^2  

aber immer , wenn im Nenner ein Linearfaktor zum Quadrat ist, kann man

das in zwei Summanden aufspalten von der Art 

A/(s+1)  + B / (s+1)^2   und die beiden sind ja leicht zu integrieren.

Musst nur noch A und B berechnen, etwa so

A/(s+1)  + B / (s+1)^2   = (s+2)/(s+1)^2  

A(s+1) /(s+1)^2   + B / (s+1)^2   = (s+2)/(s+1)^2  

A(s+1)   +  B   =    s+2 

As    + A + B   =   s+ 2   

Koeffizientenvergleich liefert 

A=1   und   A+B=2 , also B=1 .

Und damit 

(s+2)/(s+1)^2   = 1/(s+1)  + 1 / (s+1)^2  

und eine Stammfunktion für diesen Teil ist 

ln(|s+1|)   -  1 /  (s+1)