Grenzwert von (1-1/2)*(1-1/3)*....*(1-1/n) für n → ∞ bestimmen

Question

ich habe eine Aufgabe vor mir die ich nicht lösen kann.

(1-1/2)*(1-1/3)*....*(1-1/n)

Ich hab versucht es sogar mit der Summenformel zu lösen, ist aber falsch!

Ich weiß nicht mehr weiter, könnt ihr mir auch das Mathegesetz sagen die ihr verwendet habt?

Answer 1

Es gilt dass $$\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-\frac{1}{n-1}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \ldots \cdot  \frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n} =  \frac{1}{n}$$
Somit bekommen wir $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$$