Differentialrechnung. h(t)=a+be^{-0,2t} beschreibt diesen Abkühlvorgang

Question

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht so ganz durchblicke. Wie bestimmt man nochmal a und b und allgemein was kann ich mit den gegebenen Temperaturen anfangen um auf das Ergebnis zu kommen?:

In einer Tasse Tee wird 90°C heißer Tee eingeschenkt. Der Tee kühlt auf die Zimmertemperatur von 20°C ab. Die Funktion h mit h(t)=a+be^-0,2t  beschreibt diesen Abkühlvorgang. Dabei ist t die Zeit in Minuten und h(t) die Temperatur in °C.

Bestimmen Sie a und b und berechnen Sie die Zeit, die vergeht, bis der Tee auf Trinktemperatur 50°C abgekühlt ist, sowie die momentane Änderungsrate der Temperatur in t=1 und in t=10

Comments

Bist du sicher, dass es eine Differentialgleichung sein soll? Meinst du nicht mehr Differentialrechnung? 

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Ups, ja genau Differentialrechnung. Entschuldige war wohl ein Schreibfehler, ist jetzt leider zu spät um es zu bearbeiten 

Answer 1

Für t gegen unendlich ist der Grenzwert von h(t) genau das a. 

Also ist schon mal a= 20.  

Und zu Beginn  ( t=0 ) hast du  90 = a+be^-0,2*0       = 20 + b*1 

                                                    90 = 20 + b 

                                                 70=b 

Also f(t)  =  20 +70e^-0,2t  .

50° hat er, wenn gilt   50  =  20 +70e^-0,2t  .

                                  30/70 =e^{-0,2t}  

                           ln(3/7) = -0,2t 

                                       t = 4,2   Also nach 4,2 Minuten.

Die Änderungsraten bekommst du mit der Ableitung.

Comments

Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe eine Frage zur momentanen Änderungsrate. Wenn ich die Ausgangsfunktion ableite muss ich dann die Werte für t in die Ableitung einsetzten ?

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Genau so ist es.