Hauptachsentransformation 3x3 Matrix Ellipse. Wie weiter zum Winkel?

Question

Ich soll für folgende Gleichung 6x²+8xy+10y²+4x+16y+4=0 eine Hauptachsentransformation durchführen.

Eigentlich hab ich das Thema sehr gut verstanden, aber irgendwie sind die Zahlen bei dem Beispiel recht "ungünstig" sodass ich mit Wurzelausdrücken und Co. rechnen muss. Jetzt stellt sich mir die Frage ob ich irgendwo einen dummen Fehler eingebaut habe oder ob es hinhaut.

Ich denke wenn irgendwo ein Fehler ist habe ich ihn beim bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren gemacht.

$$ \begin {pmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} $$ Matrix A (ergibt sich aus der Gleichung von oben)

Als Eigenwerte habe ich zum einen -2*(\sqrt { 5 } -4) und zum anderen 2*(\sqrt { 5 } +4).

Dazugehörig hab ich dann die unhandlichen Eigenvektoren

$$ \begin {pmatrix} \frac { \sqrt { 5 } -1 }{ 2 }  \\ 1 \end {pmatrix}$$

$$ \begin {pmatrix}- \frac { \sqrt { 5 } -1 }{ 2 }  \\ 1 \end {pmatrix}$$

Wenn ich die Vektoren normiere erhalte ich für beide den Vorfaktor  $$\frac { \sqrt { -2*(\sqrt { 5 } -5) }  }{ 2 }$$

Ich hoffe die ganzen Formeln werden ordnungsgemäß dargestellt und jemand kann mir erklären ob das so wirklich stimmen kann oder wo mein Fehler wirklich liegt.

Comments

Sorry irgendwie hat das mit dem Formeleditor nicht so funktioniert wie erhofft.

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Ich habe mal die doppelten Dollarzeichen ergänzt !

Fehler habe ich aber auch keinen gefunden.

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Beim zweiten Eigenvektor ist ein Vorzeichenfehler

$$v_2=\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{5} \colorbox{#ffff00}{+} 1}{2}\\ 1\end{pmatrix}$$

siehe auch Wolfram Alpha.

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Danke, da hab ich nicht richtig aufgepasst. Da ergibt sich aber jetzt doch noch eine Frage zum weiteren vorgehen. Den nun beginnt dann ja die Transformation. Dabei haben wir zuerst immer die B Matrix erstellt und den Winkel ausgerechnet. Aber bisher waren die Werte immer so das der Sinus Wert und der - Sinus Wert bis auf das Vorzeichen gleich waren und die Cosinus Werte identisch (siehe Matrix B1). Nun ist das aber anders herum angeordnet (siehe Matrix B2). Deshalb dachte ich an einen Fehler bei der Berechnung der Eigenvektoren.

\( B I=\left(v1 ~ v2 \right)=\frac{\sqrt{-2 · (\sqrt{5}-5)}}{2} · \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \)
\( B 2=\left(v1 ~ v2\right)=\frac{\sqrt{-2 · (\sqrt{5}-5)}}{2} · \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \)
\( \left(\begin{array}{cc}\cos (\varphi) &- \sin (\varphi) \\ \sin (\varphi) & \cos (\varphi)\end{array}\right) \quad \varphi=\arctan \frac{\sin (\varphi)}{\cos (\varphi)} \)

Anscheinend muss die Matrix B2 aber richtig sein, wenn ich keine Fehler gemacht habe. Wie soll ich da nun weiter vorgehen um den Winkel zu berechnen?