Hauptachsentransformation

Question

Ich brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe.

Klassifizieren Sie den folgenden Kegelschnitt

x^2+4xy+y^2-9=0
.

In diesem Fall ist es lediglich notwendig eine Drehung durchzuführen. Die Eigenvektoren
müssen nicht berechnet werden, da die Matrix R (Transformtionsmatrix) nicht gebraucht wird

Vielen Dank für die Hilfe

Comments

Eigenvektoren musst Du keine ausrechnen, sagt der Aufgabendichter. Aber vielleicht doch wenigstens Eigenwerte? Und dann ist die Frage: von welcher Matrix? Wo ist denn in \(x^2+4xy+y^2-9=0\) bloss eine Matrix?

Answer 1

Matrix ist   M

1   2
2   1

Es ist der Faktor vor x^2 und vor y^2 jeweils der gleiche.

Also Drehung um 45°.

Dazu ist die Drehmatrix  D =

(√2 / 2) *   1     -1
                 1     1

Dann gibt

[ x,y] * D^{-1} * M * (x,y)^T   =  3x^2 - y^2

Und aus der Gleichung wird

3x^2 - y^2   - 9 =  0

bzw

x^2 / 3   - y^2 / 9 =  1

Also eine Hyperbel.