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Hallo ,

für mein Geo-Studium muss ich leider Höhere Mathematik 1 & 2 absolvieren , nachdem ich leider durch die erste Mathe Prüfung gefallen bin , muss ich den nächsten Versuch in 3 Wochen bestehen . Und so gut wie alles sehr gut verstehen.

In unserer Vorlesung haben wir auch die Hauptachsentransformation behandelt , das habe ich soweit bis zu einem gewissen Punkt alles verstanden . Nur ab dem Punkt die Drehmatrix zu transformieren , die Form zu bestimmen sowie den Drehwinkel zu bestimmen , hab ich noch große Schwierigkeiten . Ich hoffe da kann mir jemand helfen , dass Thema wird anscheinend nicht so oft im Studium behandelt .(Zumindest in meinem Bekanntenkreis hatte das niemand in HM1 oder HM2).


Aufgabe:

-x₁+2√3x₁x₂+x₂=2   Führen sie eine

Hauptachsentransformation durch, um die Kurve zu bestimmen. Geben sie Drehmatrix S, den Drehwinkel , die transformierte Gleichung und die Art der Kurve an .

Problem/Ansatz:

Die ganzen Schritte mit den Eigenwerten überspringe ich mal bis zur Drehmatrix . Meine Drehmatrix ist

S=\( \frac{1}{2} \) \( \begin{pmatrix} 1 & -√3 \\ √3 & 1 \end{pmatrix} \)

Nun müsste ich ja auf meinen Sinus und Cosinus kommen um den Drehwinkel herauszufinden , der cosinus wäre ja cos=\( \frac{1}{2} \) und der sinus \( \frac{√3}{2} \) um jetzt den Winkel zu bestimmen , müsste ich ja den arctan ausrechnen nur in der Klausur dürfen wir keinen TR verwenden , gibt es da irgendwie einen Trick ? Oder ist die Lösung dazu offensichtlich ?

Im nächsten Schritt sollte man ja die Hauptachsentransformation durchführen , das heißt x=S*y , da es ja nur eine zweidimensionale HAT ist.

Müsste ich dann einfach nur die Drehmatrix ausrechnen oder wie mache ich das ? Den Schritt habe ich nie verstanden . Dann setzt man ja für jedes X in der ersten Matrix-Form die Drehmatrix ein und dann hat man das Ergebnis?

Müsste es dann ungefähr so aussehen :

S*y*\( \begin{pmatrix} -1 & √3 \\ √3 & 1 \end{pmatrix} \) *S*y=2 ?


Würde mich über Hilfestellung/Erklärungen freuen...

von

2 Antworten

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A weng sparsam Deine Quadric-Gleichung...

Du bist wahrscheinlich auf dem richtigen Weg: Zur Kontrolle

https://ggbm.at/kfqgjbcp

Stelle die Gleichung bitte richtig...

Die Drehmatrix S passt - was dann aber kommt???

Der komplette Schritt

\(\small \left(x, y \right) \; \left(\begin{array}{rr}2&0\\0&-2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x\\y\\\end{array}\right) + \left(\left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \; \sqrt{3}\\\frac{1}{2} \; \sqrt{3}&\frac{1}{2}\\\end{array}\right) \; \left(x, y \right) \right)=2\)

und der Drehwinkel kommt aus der Drehmatrix S

θ=arccos(S(1,1))=arccos(1/2)

θ=60°

von 17 k

Sprich bis zur Drehmatrix S war es ok , danach nur noch Unsinn ?

Könntest du erklären wie man dann weiter macht , schritt für Schritt ausführlich ? Ich setze dann ja meine Drehmatrix sogesehen in die Gleichung ein und ersetze jedes x mit der Drehmatrix und rechne das dann aus ? Wie kommt z.b die erste Matrix mit den 2en zustande?

Und davon kommt man dann auf den Drehwinkel ?

Ich hab Dir doch den Schritt zur Drehung aufgeschrieben, was ist daran unklar? Es bleibt aufgrund der einfachen Quadrikgleichung nur der Teil vor dem + übrig. Deine Angaben kann ich nicht einordnen - sieht unsinnig aus.

Weisst Du wie eine Drehmatrix beschaffen ist? Kann man nachlesen im Wickipedia...

Der Link weist auf ein Applet, dass Dir die Aufgabe vorrechnet und als Grafik darstellt.

blob.png

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Hallo

 zu deiner Frage zu den Winkeln. Es gehört zur mathematischen Allgemeinbildung sin und cos (und damit tan) von den Winkeln 0°, 30°, 45°,60° und 90° zu kennen. dann natürlich auch die + und -180°

man kann sie entweder auswendig, oder hat für 30° und 60° ein durch die Höhe geteiltes gleichseitiges Dreieck  Seite 1 vor sich, mit Höhe=1/2*√3  und daraus sin(30)=cos(60)=1/2, sin(60°)=cos(30°)=1/2*√3 für 45° eingleichseitiges rechtwinkliges Dreieck daraus sin(45)=cos(45)=1/2*√2

Gruß lul

von 86 k 🚀

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