Limes Berechnen. Wo ist mein Fehler?!

Question

Der Grenzwert der Folge a_n = sqrt(n^2+n+1)-n müsste 1/2 sein. Wo ist mein Fehler?

Answer 1

wo liegt der Fehler ?

im Übergang von der dritten zur vierten Zeile, die Regel

$$ \lim\limits_{n\to\infty}a_n b_n =\lim\limits_{n\to\infty}a_n \lim\limits_{n\to\infty} b_n =ab $$

gilt nur wenn a_n und b_n beide konvergente Folgen sind. Dies ist bei dir nicht der Fall.

Comments

Alles klar  Müsste dann nicht der selbe Fehler von mir aber auch schon in der ersten zur zweiten Zeile liegen. Müsste ja der gleiche Fehler sein oder etwa nicht? 

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Ja stimmt, das ist auch falsch. Bei der Summandenregel gelten auch diese Voraussetzungen.

Answer 2

lim (n --> ∞) √(n^2 + n + 1) - n

= lim (n --> ∞) (√(n^2 + n + 1) - n)(√(n^2 + n + 1) + n) / (√(n^2 + n + 1) + n)

= lim (n --> ∞) ((n^2 + n + 1) - n^2) / (√(n^2 + n + 1) + n)

= lim (n --> ∞) (n + 1) / (n·(√(1 + 1/n + 1/n^2) + 1))

= lim (n --> ∞) (1 + 1/n) / (√(1 + 1/n + 1/n^2) + 1)

= 1 / 2