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Ich habe folgendes Problem zu Betragsungleichungen mit Bruch. Und zwar möchte ich folgende Aufgabe berechnen:

$$ \frac { |3x+6| }{ x-2 } \ge x $$

Ich bin bei Brüchen hingegangen und habe einmal den Zähler in 2 Fälle unterschieden also mit den Bedingungen

$$x\ge -2$$

für den Fall, dass der Zähler positiv ist und

$$x<-2$$

für den Fall, dass der Zähler negativ ist.

Soweit so gut. Beim Nenner habe ich allerdings das selbe gemacht. Ich bin da also hingegangen und habe für den negativen Fall des Nenners, diesen in Klammern gesetzt und ein Minus davor geschrieben. Ich hatte dann für diesen Fall

$$\frac { 3x+6 }{ -(x-2) } \ge x$$

daraus gemacht, was aber (wie ich mittlerweile weiß) falsch ist. Richtig wäre ja, dass das Relationszeichen einfach nur gedreht wird, also:

$$\frac { 3x+6 }{ x-2 } \le x$$

Jetzt habe ich allerdings das Problem, dass ich keine einzige Bruchungleichung in dieser Form mehr gelöst bekomme und ich finde einfach meinen Fehler nicht.

Mein 1. Fall wäre

$$\frac { 3x+6 }{ x-2 } \ge x$$ mit der Bedingung $$x\ge -2\quad \wedge \quad x>2$$

Diese Gleichung aufgelöst nach $$0\ge x²-5x-6$$

und über die pq-Formel

$$x1\le 6\quad \vee \quad x2\le -1$$

ermittelt.

Mein 2. Fall (Zähler positiv, Nenner negativ) geht nicht auf, da die Diskriminante < 0 ist.

$$\frac { 3x+6 }{ -(x-2) } \ge x\quad für\quad x\ge -2\quad \wedge \quad x<2$$

Mein 3. Fall (Zähler negativ, Nenner positiv) schließt sich über die nicht erfüllbare Bedingung aus.

$$\frac { -(3x+6) }{ x-2 } \ge x\quad für\quad x<-2\quad \wedge \quad x>2$$

Mein 4. Fall (Zahler und Nenner negativ) ergibt die selbe Lösung wie im ersten Fall.

$$\frac { -(3x+6) }{ -(x-2) } \ge x\quad für\quad x<-2\quad \wedge \quad x<2$$

Und zum Schluss sei nochmal erwähnt: So, wie ich die vier Fälle am Ende beschrieben habe, komme ich auf die richtige Lösung. Berechne ich die Fälle indem ich bei negativem Nenner das Relationszeichen drehe, komme ich nichtmal ansatzweise auf die Lösung und hier weiß ich einfach nicht mehr weiter.

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Beste Antwort

3x + 6 = 0 --> x = -2

x - 2 = 0 --> x = 2

Damit gibt es 3 Fälle

Fall1: x <= -2

Fall2: -2 <= x < 2

Fall 3: x > 2

Ich löse nur mal den ersten Fall

Fall1: x <= -2

-(3x + 6) / (x - 2) >= x

-3x - 6 <= x(x - 2)

-3x - 6 <= x^2 - 2x

x^2 + x + 6 >= 0 --> Immer erfüllt --> x <= -2

Insgesamt solltest du auf folgende Lösung kommen

2 < x ≤ 6 ∨ x ≤ -1

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Danke für die sehr schnelle Antwort,

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, so ist also eine "immer erfüllte" Lösung gleich die Bedingung, oder?

Im Fall für -2 <= x < 2 zerschieße ich mir meine bis dahin richtige Lösung wieder:


3x+6 / (x-2) <= x

3x+6 <= x² - 2x

0 = x² - 5x - 6

pq-Formel ergibt x1 >= 6  und  x2 >= -1


Meine daraus resultierende Lösung in Verbindung mit der entsprechenden Bedingung ergibt dann:

-1 <= x < 2  oder  x >= 6  was mir, wie gesagt, meine bis dahin richtige Lösung wieder zerschießt

Fall2: -2 <= x < 2

(3x + 6) / (x - 2) <= x

3x + 6 <= x(x - 2)

3x + 6 <= x^2 - 2x

x^2 - 5x - 6 >= 0

x ≤ -1 ∨ x ≥ 6

mit Berücksichtigung der Bedingung: -2 <= x <= -1

Du solltest sorgfältiger arbeiten.

Danke Dir aber wieso dreht sich das Relationszeichen beim Ergebnis x1 aufeinmal?

Für welche x gilt denn

x^2 - 5x - 6 >= 0

(x - 6)(x + 1) >= 0

Da komme ich jetzt nicht ganz mit. In einem anderen Fall für die Bedingung

x > 2

habe ich

0 >= x² - 5x - 6

mit den Lösungen

x1 <= 6  oder  x <= -1

mit der daraus resultierenden Lösungsmenge

2 < x <= 6  oder  x <= -1

was ja der Lösung entspricht.

Dann müsste ich hier also auch einer der Relationszeichen drehen nur der Grund bzw, die Bedingung dafür wird mir gerade noch nicht ganz klar.

x^2 - 5x - 6 >= 0

ist doch eine andere Bedingung als

x^2 - 5x - 6 <= 0

Wie gesagt. Du musst da extrem sorgfältig arbeiten.

Ah! Ich glaube ich habs jetzt endgültig.

Also wenn ich die quadratische Funktion mit den Nullstellen

x1 = 6  und  x2 = -1

betrachte und gleichzeit gucke, wann die Funktion >= 0 bzw. <= 0 ist,

wäre somit ja logischerweise für

>= 0     x2 <= -1  und  x1 >= 6

und für

<= 0     x2 >= -1  und  x1  <= 6

Daher kommt dann auch der Richtungswechsel des Relationszeichens! Hoffe ich :D

Vielen Dank aufjedenfall!

Richtig. Eine nach oben geöffnete Parabel ist zwischen den Nullstellen <= 0.

Daher links der linken und rechts der rechten Nullstelle >= 0.

So,

Konnte das neu erworbene Wissen nun ausgiebig mit größtem Erfolg testen und festigen! Besten Dank nochmal für die sehr schnelle und ausgiebige Hilfe :)

+1 Daumen

Hier meine Vorarbeit zur Lösung.

Da ich beabsichtige mit ( x - 2 ) zu multiplizieren
und sich bei einem negativem Wert das Relations-
zeichen umdreht und die Betragzeichen berücksichtigt werden müssen ergeben sich 3 kritische Punkte

Eine Darstellung auf einem Zahlenstrahl hilft den
Überblick zu waren.

gm-1.jpg

Und nun kann gerechnet werden.

Avatar von 122 k 🚀

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