linear inhomogene Differentialgleichung

Question

kann jemand folgende Aufgabe mit Trennung der variable für den homogenen teil 

und mit Variation der konstante für den partikulären teil berechnen?

Gesucht ist eine spezielle Lösung.

Answer 1

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Comments

in der Vorlesung hatten wir folgende Lösung y(x)=7xe^-6x

Ohne das c1*e^-(6x)

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Diese Lösung ist aber  richtig.

y(x) = c₁ e^{-6 x} + 7 e^{-6 x} x (Gesamtlösung)

7 e^{-6 x} x ist nur die part. Lösung.

y=y_h +y_p.

Answer 2

Wir haben die lineare inhomogene Differentialgleichung: $$y'(x)+6y(x)=7e^{-6x}$$ 

Wir berechnen erstmal die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y'(x)+6y(x)=0$$ mit Trennung der Variablen:
$$\frac{dy}{dx}+6y=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-6y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-6dx \\ \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=-6dx \int \Rightarrow \ln |y|=-6x+c \\ \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-6x+c} \Rightarrow |y|=e^{-6x}\cdot e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^c\cdot e^{-6x}\Rightarrow y=C\cdot e^{-6x} \ \text{ wobei } C:=\pm e^c$$
Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y_h(x)=C\cdot e^{-6x}$$

Nun wollen wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen DG berechnen mit Variation der Konstante. Dazu ersetzen wir in der allgemeinen Lösung der homogenen DG die Konstante C durch eine Funktion C(x): $$y_p(x)=C(x)\cdot e^{-6x}$$
C(x) kann nun so gewählt werden, dass y_p eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird. Wir differenzieren die Funktion und bekommen: $$y_p'(x)=C'(x)\cdot e^{-6x}-6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=\left(C'(x)-6\cdot C(x)\right)\cdot e^{-6x}$$ Wir setzen dies in der DG ein und bekommen: $$y'_p(x)+6y_p(x)=7e^{-6x}\Rightarrow \left(C'(x)-6\cdot C(x)\right)\cdot e^{-6x}+6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=7e^{-6x}\Rightarrow C'(x)-6\cdot C(x)+6\cdot C(x)=7 \Rightarrow C'(x)=7 \Rightarrow C(x)=7x$$ Somit erhalten wir $$y_p(x)=7x\cdot e^{-6x}$$
Die Allgemeine Lösung der inhomogenen DG lautet also $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\cdot e^{-6x}+7x\cdot e^{-6x}$$