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kann jemand folgende Aufgabe mit Trennung der variable für den homogenen teil 

und mit Variation der konstante für den partikulären teil berechnen?

Gesucht ist eine spezielle Lösung.

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in der Vorlesung hatten wir folgende Lösung y(x)=7xe^(-6x)

Ohne das c1*e^-(6x)

Diese Lösung ist aber  richtig.

y(x) = c1 e^(-6 x) + 7 e^(-6 x) x (Gesamtlösung)

7 e^(-6 x) x ist nur die part. Lösung.

y=yh +yp.

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Wir haben die lineare inhomogene Differentialgleichung: $$y'(x)+6y(x)=7e^{-6x}$$ 

Wir berechnen erstmal die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y'(x)+6y(x)=0$$ mit Trennung der Variablen:
$$\frac{dy}{dx}+6y=0  \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-6y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-6dx \\ \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=-6dx \int  \Rightarrow \ln |y|=-6x+c \\ \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-6x+c} \Rightarrow |y|=e^{-6x}\cdot e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^c\cdot e^{-6x}\Rightarrow y=C\cdot e^{-6x} \ \text{ wobei } C:=\pm e^c$$
Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen DG $$y_h(x)=C\cdot e^{-6x}$$

Nun wollen wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen DG berechnen mit Variation der Konstante. Dazu ersetzen wir in der allgemeinen Lösung der homogenen DG die Konstante C durch eine Funktion C(x): $$y_p(x)=C(x)\cdot e^{-6x}$$
C(x) kann nun so gewählt werden, daß y_p eine spezielle Lösung der inhomogenen DG wird. Wir differenzieren die Funktion und bekommen: $$y_p'(x)=C'(x)\cdot e^{-6x}-6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=\left (C'(x)-6\cdot C(x)\right )\cdot e^{-6x}$$ Wir setzen dies in der DG ein und bekommen: $$y'_p(x)+6y_p(x)=7e^{-6x}\Rightarrow \left (C'(x)-6\cdot C(x)\right )\cdot e^{-6x}+6\cdot C(x)\cdot e^{-6x}=7e^{-6x}\Rightarrow C'(x)-6\cdot C(x)+6\cdot C(x)=7 \Rightarrow  C'(x)=7 \Rightarrow C(x)=7x$$ Somit erhalten wir $$y_p(x)=7x\cdot e^{-6x}$$
Die Allgemeine Lösung der inhomogenen DG lautet also $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\cdot e^{-6x}+7x\cdot e^{-6x}$$

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